Exemplo 8
Considere o PVI
Avalie a existência e unicidade da solução em cada um dos seguintes casos:
(a)
e
(qualquer);
(b)
e
;
©
e
.
Considere o PVI
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial:
Aqui, queremos saber se existe uma solução para essa equação e se essa solução é única, dependendo dos valores de $ a $ e $ b $. Para isso, vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais. Vamos analisar cada caso passo a passo.
Passo 2
Caso (a): $ a \neq 0 $ e $ b \in \mathbb{R} $ (qualquer)
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A condição para existência e unicidade é que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado.
Aqui, o coeficiente
é contínuo para todo $ x \neq 0 $. Como $ a \neq 0 $, estamos em um ponto onde a função é contínua. Portanto, pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, existe uma solução única para esse PVI quando $ a \neq 0 $.
Passo 3
Caso (b): $ a = 0 $ e $ b \neq 0 $
Vamos novamente olhar para a equação reescrita:
Aqui, o coeficiente
não é contínuo em $ x = 0 $ porque ele tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0. Isso significa que não podemos garantir a existência ou unicidade da solução nesse ponto.
Além disso, a própria equação se torna problemática em $ x = 0 $, tornando impossível satisfazer a condição inicial $ y(0) = b $ para $ b \neq 0 $. Portanto, não existe solução para esse caso.
Passo 4
Caso ©: $ a = 0 $ e $ b = 0 $
Novamente, analisando a equação:
Mesmo com $ b = 0 $, o coeficiente
ainda não é contínuo em $ x = 0 $. No entanto, se considerarmos que $ y(0) = 0 $, podemos verificar se existe uma solução trivial.
De fato, a solução trivial $ y(x) = 0 $ satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Mas, devido à descontinuidade do coeficiente, não podemos assegurar que essa seja a única solução possível. Existem soluções não triviais que também podem satisfazer a condição inicial, o que significa que a unicidade não é garantida.
Resposta
Resumo dos casos:
- (a) Quando $ a \neq 0 $ e $ b $ é qualquer número real, existe uma solução única para o PVI.
- (b) Quando $ a = 0 $ e $ b \neq 0 $, não existe solução.
- © Quando $ a = 0 $ e $ b = 0 $, existe pelo menos uma solução (a trivial), mas a unicidade não é garantida.