Exemplo 8
Considere o PVI
x y^prime=2 y, y(a)=b
Avalie a existência e unicidade da solução em cada um dos seguintes casos:
(a) a neq 0 e b in R (qualquer);
(b) a=0 e b neq 0;
© a=0 e b=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial:
x y^prime = 2 y, y(a) = b
Aqui, queremos saber se existe uma solução para essa equação e se essa solução é única, dependendo dos valores de $ a $ e $ b $. Para isso, vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais. Vamos analisar cada caso passo a passo.

Passo 2

Caso (a): $ a \neq 0 $ e $ b \in \mathbb{R} $ (qualquer)
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
a neq 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A condição para existência e unicidade é que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado.
Aqui, o coeficiente b in R é contínuo para todo $ x \neq 0 $. Como $ a \neq 0 $, estamos em um ponto onde a função é contínua. Portanto, pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, existe uma solução única para esse PVI quando $ a \neq 0 $.

Passo 3

Caso (b): $ a = 0 $ e $ b \neq 0 $
Vamos novamente olhar para a equação reescrita:
a = 0
Aqui, o coeficiente b neq 0 não é contínuo em $ x = 0 $ porque ele tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0. Isso significa que não podemos garantir a existência ou unicidade da solução nesse ponto.
Além disso, a própria equação se torna problemática em $ x = 0 $, tornando impossível satisfazer a condição inicial $ y(0) = b $ para $ b \neq 0 $. Portanto, não existe solução para esse caso.

Passo 4

Caso ©: $ a = 0 $ e $ b = 0 $
Novamente, analisando a equação:
a = 0
Mesmo com $ b = 0 $, o coeficiente b = 0 ainda não é contínuo em $ x = 0 $. No entanto, se considerarmos que $ y(0) = 0 $, podemos verificar se existe uma solução trivial.
De fato, a solução trivial $ y(x) = 0 $ satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Mas, devido à descontinuidade do coeficiente, não podemos assegurar que essa seja a única solução possível. Existem soluções não triviais que também podem satisfazer a condição inicial, o que significa que a unicidade não é garantida.

Resposta

Resumo dos casos:
  • (a) Quando $ a \neq 0 $ e $ b $ é qualquer número real, existe uma solução única para o PVI.
  • (b) Quando $ a = 0 $ e $ b \neq 0 $, não existe solução.
  • © Quando $ a = 0 $ e $ b = 0 $, existe pelo menos uma solução (a trivial), mas a unicidade não é garantida.

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