Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(f) lim (x, y) (2,3) 2 x-4 x yx^2-y^2.

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite da função de duas variáveis f(x,y)=2x-4xyx^2-y^2 quando (x,y) se aproxima de (2,3). O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos usar conceito de continuação de funções racionais.

Passo 2

Primeiro a gente fatora numerador e denominador para simplificar a expressão. No numerador tenho 2x-4xy=2x(1-2y). No denominador uso a diferença de quadrados: x^2-y^2=(x-y)(x+y). Assim
f(x,y)=2x(1-2y)(x-y)(x+y)

Passo 3

Agora verifico se o ponto (2,3) é um ponto de descontinuidade: substituindo, o denominador fica (2-3)(2+3)=-1cdot5=-5, que não é zero. Como numerador e denominador são polinômios e o denominador não anula, a função é contínua num entorno de (2,3).
Pela continuidade de funções racionais, o limite quando (x,y)to(2,3) é simplesmente o valor de f(2,3). Substituindo:
f(2,3)=2cdot2(1-2cdot3)(2-3)(2+3)=4(1-6)-5=4(-5)-5=4

Resposta

4

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