Utilize substituição trigonométrica para calcular a área compreendida pela elipse x^29+y^2194=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação de uma elipse: x^29 + y^2194 = 1. O objetivo é encontrar a área dessa elipse usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses, áreas e como usar trigonometria para resolver integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse para facilitar. Sabemos que uma elipse geral é dada por x^2a^2 + y^2b^2 = 1, onde a e b são os semi-eixos. Comparando com a nossa equação, temos:
a^2 = 9 Rightarrow a = 3
b^2 = 194 Rightarrow b = raiz192
Esses valores vão nos ajudar a parametrizar a elipse usando trigonometria.

Passo 3

Para usar substituição trigonométrica, podemos parametrizar x e y em função de um ângulo theta:
x = a cos theta = 3 cos theta
y = b sin theta = raiz192 sin theta
Essas parametrizações respeitam a equação da elipse.

Passo 4

Agora, para encontrar a área da elipse, podemos usar a integral dupla, mas uma maneira mais simples é calcular a área em termos de theta. A fórmula para a área em coordenadas paramétricas é:
Área = integral0^2pi x cdot dydtheta , dtheta Á
Vamos calcular dydtheta:
dydtheta = raiz192 cos theta

Passo 5

Substituindo x e dydtheta na integral:
Área = integral0^2pi 3 cos theta cdot raiz192 cos theta , dtheta = 3raiz192 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta Á
Agora, precisamos resolver a integral de cos^2 theta.

Passo 6

Sabemos que:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral fica:
3raiz192 cdot 12 integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta = 3raiz194 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos 2theta , dtheta ]

Passo 7

Resolvendo as integrais separadamente:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi cos 2theta , dtheta = 0
Portanto, a área fica:
3raiz194 cdot 2pi = 3raiz192 pi

Resposta

A área compreendida pela elipse é 3raiz192 pi.

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