Utilize substituição trigonométrica para calcular a área compreendida pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação de uma elipse:
. O objetivo é encontrar a área dessa elipse usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses, áreas e como usar trigonometria para resolver integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse para facilitar. Sabemos que uma elipse geral é dada por
, onde
e
são os semi-eixos. Comparando com a nossa equação, temos:
Esses valores vão nos ajudar a parametrizar a elipse usando trigonometria.
Passo 3
Para usar substituição trigonométrica, podemos parametrizar
e
em função de um ângulo
:
Essas parametrizações respeitam a equação da elipse.
Passo 4
Agora, para encontrar a área da elipse, podemos usar a integral dupla, mas uma maneira mais simples é calcular a área em termos de
. A fórmula para a área em coordenadas paramétricas é:
Vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral:
Agora, precisamos resolver a integral de
.
Passo 6
Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 7
Resolvendo as integrais separadamente:
Portanto, a área fica:
Resposta
A área compreendida pela elipse é
.