Considere a função real de duas variáveis reais f dada por
f(x, y)=-raiz9-x^2-y^2
Determine o domínio D e o conjunto imagem de f. Faça um esboço do domínio de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que estamos resolvendo é sobre a função $ f(x, y) = -\sqrt{9 - x^2 - y^2} $. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir o domínio dessa função e o conjunto imagem dela. Além disso, temos que desenhar um esboço do domínio. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está bem definida, ou seja, que não resultam em números imaginários ou indefinidos. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos um número real.

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
9 - x^2 - y^2 >= 0
Isso significa que:
x^2 + y^2 <= 9
Essa é uma equação que descreve um círculo no plano xy com raio 3 (porque raiz9 = 3) e centro na origem (0, 0).

Passo 4

Então, o domínio D da função f(x, y) é todo o conjunto de pontos (x, y) que estão dentro ou na borda desse círculo. Em outras palavras:
D = (x, y) in R^2 mid x^2 + y^2 <= 9

Passo 5

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função f. Esse conjunto é o conjunto de todos os valores possíveis que f(x, y) pode assumir quando (x, y) varia dentro do domínio.
A função é:
f(x, y) = -raiz9 - x^2 - y^2
Sabemos que a raiz quadrada sempre retorna um valor não negativo. Portanto, raiz9 - x^2 - y^2 varia de 0 a 3 (já que o máximo ocorre quando x = y = 0).
Como temos um sinal negativo na frente, o valor de f(x, y) varia de -3 a 0. Ou seja:
f(x, y) <= 0 e f(x, y) >= -3
Então, o conjunto imagem é:
Ima>=m = f(x, y) in R mid -3 <= f(x, y) <= 0

Passo 6

Por último, vamos fazer um esboço do domínio da função f(x, y). Como já vimos, o domínio é um círculo com raio 3 centrado na origem. Para desenhar:
  1. Desenhe um plano cartesiano.
  2. Marque a origem (0, 0).
  3. Desenhe um círculo com raio 3 ao redor da origem.
  4. Sombreamento interno ao círculo representa todos os pontos (x, y) que pertencem ao domínio.

Resposta

O domínio D da função é:
D = (x, y) in R^2 mid x^2 + y^2 <= 9
O conjunto imagem de f é:
Ima>=m = f(x, y) in R mid -3 <= f(x, y) <= 0
Além disso, o esboço do domínio é um círculo com raio 3 centrado na origem do plano xy.

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