Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
Determine o domínio
e o conjunto imagem de
. Faça um esboço do domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que estamos resolvendo é sobre a função $ f(x, y) = -\sqrt{9 - x^2 - y^2} $. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir o domínio dessa função e o conjunto imagem dela. Além disso, temos que desenhar um esboço do domínio. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida, ou seja, que não resultam em números imaginários ou indefinidos. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos um número real.
Passo 3
Vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
Isso significa que:
Essa é uma equação que descreve um círculo no plano
com raio
(porque
) e centro na origem
.
Passo 4
Então, o domínio
da função
é todo o conjunto de pontos
que estão dentro ou na borda desse círculo. Em outras palavras:
Passo 5
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função
. Esse conjunto é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir quando
varia dentro do domínio.
A função é:
Sabemos que a raiz quadrada sempre retorna um valor não negativo. Portanto,
varia de
a
(já que o máximo ocorre quando
).
Como temos um sinal negativo na frente, o valor de
varia de
a
. Ou seja:
Então, o conjunto imagem é:
Passo 6
Por último, vamos fazer um esboço do domínio da função
. Como já vimos, o domínio é um círculo com raio
centrado na origem. Para desenhar:
- Desenhe um plano cartesiano.
- Marque a origem
. - Desenhe um círculo com raio
ao redor da origem. - Sombreamento interno ao círculo representa todos os pontos
que pertencem ao domínio.
Resposta
O domínio
da função é:
O conjunto imagem de
é:
Além disso, o esboço do domínio é um círculo com raio
centrado na origem do plano
.