Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
Descreva as curvas de nível do gráfico de
e faça um esboço dos traços do gráfico de
nos planos coordenados, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que estamos analisando é $ f(x, y) = -\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} $. A matéria aqui envolve funções de duas variáveis, curvas de nível e traços de gráficos. Para resolver, vamos precisar entender como identificar as curvas de nível dessa função e como esboçar os traços do gráfico nos diferentes planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curva de nível é onde a função assume um valor constante. Ou seja, fixamos um valor $ c $ para $ f(x, y) $ e encontramos quais pontos
satisfazem $ f(x, y) = c $.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função:
Como a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo e está sendo multiplicada por -1, $ c $ precisa ser menor ou igual a zero ($ c \leq 0 $) para termos soluções reais.
Passo 4
Resolvendo a equação para $ x $ e $ y $, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
A equação $ x^{2} + y^{2} = 9 - c^{2} $ representa círculos no plano $ xy $ com raio $ \sqrt{9 - c^{2}} $. Isso significa que as curvas de nível são círculos concêntricos ao redor da origem, com raio diminuindo conforme $ c $ se aproxima de -3.
Passo 6
Agora, vamos aos traços do gráfico nos planos coordenados.
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Plano $ xy $: Já vimos que os pontos estão dentro do círculo $ x^{2} + y^{2} \leq 9 $.
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Plano $ xz $: Fixamos $ y = 0 $, então a função fica $ f(x, 0) = -\sqrt{9 - x^{2}} $. Isso forma uma semicircunferência no plano $ xz $ abaixo do eixo $ z $.
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Plano $ yz $: Similarmente, fixando $ x = 0 $, temos $ f(0, y) = -\sqrt{9 - y^{2}} $, formando outra semicircunferência no plano $ yz $ também abaixo do eixo $ z $.
Resposta
As curvas de nível da função $ f(x, y) = -\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} $ são círculos concêntricos ao redor da origem no plano $ xy $, com raio $ \sqrt{9 - c^{2}} $ para $ c \leq 0 $. O esboço dos traços do gráfico de $ f $ mostra semicircunferências nos planos $ xz $ e $ yz $, ambas situadas abaixo do eixo $ z $.