Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(f) lim (x, y) (0,0) -2 x^2+2 y^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis f(x,y)=-2x^2+2y^2x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). Isso cai no tema de limites em R^2, onde a gente precisa ver se o valor se mantém igual em qualquer caminho de aproximação ao ponto. Para esse tipo de problema, uma boa estratégia é usar coordenadas polares.

Passo 2

A gente faz a troca x=rcostheta e y=rsintheta, lembrando que r=raizx^2+y^2. Substituindo no numerador e denominador:
x^2+y^2=r^2, -2x^2+2y^2=2(-x^2+y^2)=2r^2(-cos^2theta+sin^2theta)= -2r^2cos(2theta)

Passo 3

Dividindo numerador por denominador, obtemos
f(r,theta)=-2r^2cos(2theta)r^2=-2cos(2theta)

Passo 4

Como esse valor não depende de r, ele permanece variando com theta. Por exemplo, se theta=0 (eixo x), f=-2cos0=-2. Mas se theta=tfracpi2 (eixo y), f=-2cospi=2. Como dá respostas diferentes em caminhos distintos, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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