Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em ℝ² e vamos precisar usar teste de caminhos e, em seguida, coordenadas polares para mostrar que o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos checar caminhos simples para ver se o resultado é consistente. Se y=0, então a função fica
. Se x=0, a função vira
, que tende a 0 quando y→0.
Passo 3
Para tratar todos os outros caminhos de uma vez só, introduzimos coordenadas polares:
e
. Então
[\frac{y{4}}{x{2}+y^{2}} = \frac{(r\sin\theta){4}}{(r\cos\theta){2}+(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r{4}\sin{4}\theta}{r{2}(\cos{2}\theta+\sin^{2}\theta)} = r{2}\sin{4}\theta]
[\frac{y{4}}{x{2}+y^{2}} = \frac{(r\sin\theta){4}}{(r\cos\theta){2}+(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r{4}\sin{4}\theta}{r{2}(\cos{2}\theta+\sin^{2}\theta)} = r{2}\sin{4}\theta]
Passo 4
Como
está entre 0 e 1, temos
. Quando r→0 isso força
. Pelo Teorema do Aperto, o limite da função é 0.
Resposta
0