Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(e) lim (x, y) (0,0) y^4x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em ℝ² e vamos precisar usar teste de caminhos e, em seguida, coordenadas polares para mostrar que o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos checar caminhos simples para ver se o resultado é consistente. Se y=0, então a função fica 0^4x^2+0^2=0. Se x=0, a função vira y^40+y^2=y^2, que tende a 0 quando y→0.

Passo 3

Para tratar todos os outros caminhos de uma vez só, introduzimos coordenadas polares: x=rcostheta e y=rsintheta. Então
[\frac{y{4}}{x{2}+y^{2}} = \frac{(r\sin\theta){4}}{(r\cos\theta){2}+(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r{4}\sin{4}\theta}{r{2}(\cos{2}\theta+\sin^{2}\theta)} = r{2}\sin{4}\theta]

Passo 4

Como sin^4theta está entre 0 e 1, temos 0<= r^2sin^4theta<= r^2. Quando r→0 isso força r^2sin^4thetato0. Pelo Teorema do Aperto, o limite da função é 0.

Resposta

0

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