Estude a convergência das séries abaixo:
sum n(n-1) r^n com |r|<1;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série:
sum n(n-1) r^n
E sabemos que |r| < 1. Nosso objetivo aqui é estudar a convergência dessa série, ou seja, descobrir se ela soma a um valor finito ou não. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é um dos métodos mais comuns para verificar a convergência de séries envolvendo potências e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se:
  • L < 1, a série converge absolutamente.
  • L > 1, a série diverge.
  • L = 1, o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, o termo geral an é:
an = n(n-1) r^n
Então, precisamos encontrar an+1:
an+1 = (n+1)(n) r^n+1

Passo 3

Agora, vamos montar a razão an+1an:
an+1an = (n+1)(n) r^n+1n(n-1) r^n = (n+1) r(n-1)
Simplificando:
an+1an = (n+1)(n-1) cdot r

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (n+1)(n-1) cdot r | = limn to infty | n+1n-1 | cdot |r|
Observando a fração n+1n-1, quando n cresce, os termos de maior ordem dominam, então:
limn to infty n+1n-1 = 1
Portanto:
L = 1 cdot |r| = |r|

Passo 5

Agora, aplicando o resultado do limite no Teste da Razão:
  • Se L = |r| < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L = |r| > 1, a série diverge.
  • Se L = |r| = 1, o teste não é conclusivo.
No enunciado, já sabemos que |r| < 1, então:
|r| < 1 implies L < 1

Resposta

Como |r| < 1 e o limite L = |r| < 1, pelo Teste da Razão a série
sum n(n-1) r^n
converge absolutamente.

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