Verifique se a função g é contínua em (0,0), em que g é a função real de duas variáveis reais dada por
g(x, y)=cc x^2 y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos verificar se a função $ g $ é contínua no ponto $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e calcular limites.

Passo 2

A continuidade de uma função de duas variáveis no ponto $ (a,b) $ exige que o limite da função quando $ (x,y) $ se aproxima de $ (a,b) $ seja igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos mostrar que:
(a,b)

Passo 3

Vamos substituir a função $ g $ na expressão do limite:
g
Sabemos que $ g(0,0) = 1 $, então queremos verificar se o limite acima é igual a 1.

Passo 4

Para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Substituindo na função:
x = r costheta
Agora, calculando o limite quando $ r $ tende a 0:
y = r sintheta

Resposta

Como o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é 0, que é diferente de $ g(0,0) = 1 $, concluímos que a função $ g $ não é contínua em $ (0,0) $.

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