Verifique se a função
é contínua em
, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos verificar se a função $ g $ é contínua no ponto $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e calcular limites.
Passo 2
A continuidade de uma função de duas variáveis no ponto $ (a,b) $ exige que o limite da função quando $ (x,y) $ se aproxima de $ (a,b) $ seja igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos substituir a função $ g $ na expressão do limite:
Sabemos que $ g(0,0) = 1 $, então queremos verificar se o limite acima é igual a 1.
Passo 4
Para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando $ r $ tende a 0:
Resposta
Como o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é 0, que é diferente de $ g(0,0) = 1 $, concluímos que a função $ g $ não é contínua em $ (0,0) $.