Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado quer calcular a integral indefinida
usando técnicas de cálculo e depois determinar se a integral imprópria
converge e seu valor. Vamos precisar de substituição trigonométrica e de análise de convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Para a integral indefinida, aplicamos a substituição trigonométrica. Definimos:
Isso transforma a integral original em termos de
.
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Agora precisamos integrar
.
Passo 4
Utilizamos a identidade
. Assim,
Passo 5
Retornamos à variável
. Como
e
, a antiderivada fica
Passo 6
Para a integral imprópria
, observamos que o único ponto de possível divergência é
, onde o integrando se comporta como
, cujo integral converge (pois
é finita).
Passo 7
Calculamos o valor pela antiderivada no intervalo de 0 a 1: