Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral x^2raiz1-x^2 d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^1 x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral indefinida integral x^2raiz1-x^2,dx usando técnicas de cálculo e depois determinar se a integral imprópria integral0^1x^2raiz1-x^2,dx converge e seu valor. Vamos precisar de substituição trigonométrica e de análise de convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Para a integral indefinida, aplicamos a substituição trigonométrica. Definimos:
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1-x^2 = costheta
Isso transforma a integral original em termos de theta.

Passo 3

Substituindo em integral x^2raiz1-x^2,dx, obtemos
integral sin^2thetacostheta,costheta,dtheta = integral sin^2theta,dtheta
Agora precisamos integrar sin^2theta.

Passo 4

Utilizamos a identidade sin^2theta = 1-cos2theta2. Assim,
integral sin^2theta,dtheta = integral 1-cos2theta2,dtheta = theta2 - sin2theta4 + C

Passo 5

Retornamos à variável x. Como theta = arcsin x e sin2theta = 2sinthetacostheta = 2xraiz1-x^2, a antiderivada fica
12arcsin x - 12xraiz1-x^2 + C

Passo 6

Para a integral imprópria integral0^1x^2raiz1-x^2,dx, observamos que o único ponto de possível divergência é xto1^-, onde o integrando se comporta como propto (1-x)^-1/2, cujo integral converge (pois integral^1 (1-x)^-1/2,dx é finita).

Passo 7

Calculamos o valor pela antiderivada no intervalo de 0 a 1:
limbto1^-l[tfrac12arcsin x - tfrac12xraiz1-x^2r]0^b = 12cdotpi2 - 0 = pi4

Resposta

integral x^2raiz1-x^2,dx = 12arcsin x - 12xraiz1-x^2 + C, integral0^1x^2raiz1-x^2,dx = pi4

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