Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(l) lim (x, y, z) (0,0,0) x^2+3 y^2+4 z^2x^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função x^2 + 3y^2 + 4z^2x^2 + y^2 + z^2 quando (x, y, z) se aproxima de (0, 0, 0). Estamos trabalhando com limites de funções de várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao se aproximar do ponto (0, 0, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da função:
f(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + 4z^2x^2 + y^2 + z^2
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são expressões quadráticas em x, y e z. Isso significa que ambas as partes da fração crescem conforme o quadrado da distância de (x, y, z) até (0, 0, 0).

Passo 3

Para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos de aproximação para (0, 0, 0). Se o valor do limite for o mesmo independentemente do caminho escolhido, então o limite existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Vamos testar alguns caminhos simples:
  1. Alongando o eixo x: Aqui, y = 0 e z = 0.
    f(x, 0, 0) = x^2 + 0 + 0x^2 + 0 + 0 = x^2x^2 = 1
    Conforme x 0, f(x, 0, 0) 1.
  2. Alongando o eixo y: Aqui, x = 0 e z = 0.
    f(0, y, 0) = 0 + 3y^2 + 00 + y^2 + 0 = 3y^2y^2 = 3
    Conforme y 0, f(0, y, 0) 3.
  3. Alongando o eixo z: Aqui, x = 0 e y = 0.
    f(0, 0, z) = 0 + 0 + 4z^20 + 0 + z^2 = 4z^2z^2 = 4
    Conforme z 0, f(0, 0, z) 4.

Passo 4

Observamos que dependendo do eixo que escolhemos para nos aproximar de (0, 0, 0), o valor do limite é diferente:
  • Pelo eixo x: 1
  • Pelo eixo y: 3
  • Pelo eixo z: 4
Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Em matemática, para limites de funções de várias variáveis, se o resultado varia com o caminho escolhido, então o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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