Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(l)
.
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites de funções de várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da função:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são expressões quadráticas em
,
e
. Isso significa que ambas as partes da fração crescem conforme o quadrado da distância de
até
.
Passo 3
Para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos de aproximação para
. Se o valor do limite for o mesmo independentemente do caminho escolhido, então o limite existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Vamos testar alguns caminhos simples:
-
Alongando o eixo
: Aqui, e . Conforme, . -
Alongando o eixo
: Aqui, e . Conforme, . -
Alongando o eixo
: Aqui, e . Conforme, .
Passo 4
Observamos que dependendo do eixo que escolhemos para nos aproximar de
, o valor do limite é diferente:
- Pelo eixo
: 1 - Pelo eixo
: 3 - Pelo eixo
: 4
Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Em matemática, para limites de funções de várias variáveis, se o resultado varia com o caminho escolhido, então o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.