Utilize o método do volume de sólido de revolução para encontrar para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo x .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido de revolução gerado ao girar a região delimitada pela curva $ y = \cos x $, as retas $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $ ao redor do eixo x. Para isso, vamos usar o método de discos, que é uma técnica de cálculo integral para achar volumes de sólidos gerados por rotação.
Passo 2
Primeiro, entendamos o método de discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo x, cada pequeno pedaço da curva forma um disco. O volume total é a soma desses discos, que calculamos integrando a área da base de cada disco ao longo do intervalo dado. A fórmula para o volume $ V $ é:
Aqui, $ f(x) = \cos x $, $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos resolver a integral de $ (\cos x)^2 $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que simplifica essa expressão.
Passo 4
A identidade que vamos usar é:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 6
Vamos avaliar nos limites de integração:
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = 0 $:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ V = \frac{\pi^{2}}{4} $.