Utilize o método do volume de sólido de revolução para encontrar para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y=cos , x=0 e x=pi2 em torno do eixo x .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido de revolução gerado ao girar a região delimitada pela curva $ y = \cos x $, as retas $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $ ao redor do eixo x. Para isso, vamos usar o método de discos, que é uma técnica de cálculo integral para achar volumes de sólidos gerados por rotação.

Passo 2

Primeiro, entendamos o método de discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo x, cada pequeno pedaço da curva forma um disco. O volume total é a soma desses discos, que calculamos integrando a área da base de cada disco ao longo do intervalo dado. A fórmula para o volume $ V $ é:
V
Aqui, $ f(x) = \cos x $, $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
V = pi integral0^pi2 (cos x)^2 , dx
Agora, precisamos resolver a integral de $ (\cos x)^2 $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que simplifica essa expressão.

Passo 4

A identidade que vamos usar é:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Então, substituindo na integral:
V = pi integral0^pi2 1 + cos 2x2 , dx = pi2 integral0^pi2 (1 + cos 2x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1) , dx = x
integral cos 2x , dx = sin 2x2
Então:
V = pi2 [ x + sin 2x2 ]0^pi2

Passo 6

Vamos avaliar nos limites de integração:
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
x = pi2
Para $ x = 0 $:
x = pi2, sin (2 times pi2) = sin pi = 0
Subtraindo:
x = 0

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ V = \frac{\pi^{2}}{4} $.

Exercícios relacionados