Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,1)(x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2)

Passo 1

O objetivo é encontrar lim(x,y)to(1,1)x^2y^3 - x^3y^2x^2 - y^2. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a técnica que vamos usar é fatoração para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, a gente fatora o numerador e o denominador para ver se aparece algum fator comum. Note que
x^2y^3 - x^3y^2 = x^2y^2(y - x),
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Passo 3

Logo, a razão fica
x^2y^3 - x^3y^2x^2 - y^2 = x^2y^2(y - x)(x - y)(x + y)

Passo 4

Reparando que y - x = -(x - y), podemos cancelar o fator (x - y) e obter
x^2y^2(y - x)(x - y)(x + y) = -x^2y^2x + y, xneq y

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, usamos a continuidade de -x^2y^2/(x+y) (fora da linha x+y=0, que não nos interessa próximo a (1,1)). Basta substituir (x,y)=(1,1):
-1^2cdot1^21 + 1 = -12

Passo 6

Como a forma final não depende de caminho e a substituição é válida, concluímos que o limite existe e vale esse valor.

Resposta

-\frac{1}{2}

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