Use regra da cadeia para determinar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função
no ponto
. A função
é composta por duas outras funções:
, onde
e
. Além disso, sabemos que o gradiente de
no ponto
é
. Vamos precisar usar derivadas de funções compostas e entender como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Essas derivadas parciais no ponto específico
são dadas pelo gradiente
, ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções
e
em
.
- Para
:
Então,
- Para
:
Usando a regra da cadeia para derivar
:
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica
:
Então,
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo os valores encontrados: