Use regra da cadeia para determinar g^prime(pi4)
g(x)=f(u(x), v(x))
nabla f(1, 12)=(2,-1)
u(x)=tan (x)
v(x)=cos ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função no ponto . A função é composta por duas outras funções: , onde e . Além disso, sabemos que o gradiente de no ponto é . Vamos precisar usar derivadas de funções compostas e entender como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se g'(x) = partial fpartial u cdot u'(x) + partial fpartial v cdot v'(x) , então a derivada de em relação a é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas parciais no ponto específico são dadas pelo gradiente , ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções u'(x) = sec^2(x) e u'(pi4) = sec^2(pi4) = (1cos(pi4))^2 = (1raiz22)^2 = ( raiz2 )^2 = 2 em v'(x) = 2cos(x) cdot (-sin(x)) = -2cos(x)sin(x) .
  • Para v'(x) = -sin(2x) :
v'(pi4) = -sin(2 cdot pi4) = -sin(pi2) = -1
Então,
  • Para :
Usando a regra da cadeia para derivar :
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica :
Então,

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia:
g'(pi4) = partial fpartial u cdot u'(pi4) + partial fpartial v cdot v'(pi4)
Substituindo os valores encontrados:
g'(pi4) = 2 cdot 2 + (-1) cdot (-1) = 4 + 1 = 5

Resposta

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