Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
D=(x, y) in R^2| | x|+|y| <= 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto D={(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|+|y|\le4} e dizer se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo aqui é topologia em R^2, usando definições de conjunto aberto e fechado e a interpretação geométrica de desigualdades com valor absoluto.

Passo 2

Para esboçar D, note que a equação da fronteira é
|x|+|y|=4
que em cada quadrante é uma reta. Os vértices ficam em (4,0),(0,4),(–4,0),(0,–4), formando um losango (diamante) centrado na origem e preenchido no interior.

Passo 3

Para classificar, usamos que um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira e é aberto se todo ponto do conjunto tem uma pequena vizinhança totalmente contida nele. Em D, a fronteira definida por |x|+|y|=4 está incluída, pois usamos <=.
Logo, D contém todos os seus pontos de fronteira e, portanto, é fechado. Como pontos na fronteira não admitem vizinhança totalmente em D, o conjunto não é aberto.

Resposta

D é fechado e não é aberto.

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