Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto D={(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|+|y|\le4} e dizer se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo aqui é topologia em
, usando definições de conjunto aberto e fechado e a interpretação geométrica de desigualdades com valor absoluto.
Passo 2
Para esboçar D, note que a equação da fronteira é
que em cada quadrante é uma reta. Os vértices ficam em (4,0),(0,4),(–4,0),(0,–4), formando um losango (diamante) centrado na origem e preenchido no interior.
Passo 3
Para classificar, usamos que um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira e é aberto se todo ponto do conjunto tem uma pequena vizinhança totalmente contida nele. Em D, a fronteira definida por
está incluída, pois usamos
.
Logo, D contém todos os seus pontos de fronteira e, portanto, é fechado. Como pontos na fronteira não admitem vizinhança totalmente em D, o conjunto não é aberto.
Logo, D contém todos os seus pontos de fronteira e, portanto, é fechado. Como pontos na fronteira não admitem vizinhança totalmente em D, o conjunto não é aberto.
Resposta
D é fechado e não é aberto.