Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(d) lim (x, y) (0,0) 4 y^2 x^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lim(x,y)to(0,0) 4y^2x^2x^2+y^2. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar coordenadas polares ou o teorema do confronto para ver o comportamento quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Para usar coordenadas polares, fazemos x=rcostheta e y=rsintheta. Então
4y^2x^2x^2+y^2=4(rsintheta)^2(rcostheta)^2r^2=4r^2cos^2thetasin^2theta

Passo 3

Sabendo que 0<=cos^2thetasin^2theta<=tfrac14, temos
0<=4r^2cos^2thetasin^2theta<=4r^2cdottfrac14=r^2

Passo 4

Como r=raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), o termo r^2 tende a zero. Pelo teorema do confronto, o limite da função também é zero.

Resposta

0

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