Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(e)
.
(e)
Passo 1
A questão pede o limite quando (x,y)→(0,0) da função
. O conteúdo aqui envolve fatoração de polinômios e propriedades de limites de funções de várias variáveis.
Passo 2
Para funções racionais, se numerador e denominador tiverem um fator comum, dá pra simplificar antes de avaliar o limite, desde que esse fator não seja zero nos pontos onde a função está indefinida.
A gente fatora o numerador:
A gente fatora o numerador:
Substituindo na expressão original, para
(já que o denominador não pode ser zero), temos:
Agora basta avaliar o limite da função simplificada, que é contínua perto de (0,0):
Mesmo que a função original não esteja definida sobre a reta x=y, isso não impede de calcular o limite: todo caminho em que (x,y)→(0,0) leva a (x-y)/2→0. Portanto o limite existe.
Resposta
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