Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(e) lim (x, y) (0,0) 2 x^2-4 x y+2 y^24 x-4 y.

Passo 1

A questão pede o limite quando (x,y)→(0,0) da função f(x,y)=2x^2-4xy+2y^24x-4y. O conteúdo aqui envolve fatoração de polinômios e propriedades de limites de funções de várias variáveis.

Passo 2

Para funções racionais, se numerador e denominador tiverem um fator comum, dá pra simplificar antes de avaliar o limite, desde que esse fator não seja zero nos pontos onde a função está indefinida.
A gente fatora o numerador:
2x^2 - 4xy + 2y^2 = 2l(x^2 - 2xy + y^2r) = 2(x-y)^2
Substituindo na expressão original, para xneq y (já que o denominador não pode ser zero), temos:
2(x-y)^24(x-y) = 24(x-y) = x-y2
Agora basta avaliar o limite da função simplificada, que é contínua perto de (0,0):
lim(x,y)to(0,0)x-y2 = 12lim(x,y)to(0,0)(x-y) = 0
Mesmo que a função original não esteja definida sobre a reta x=y, isso não impede de calcular o limite: todo caminho em que (x,y)→(0,0) leva a (x-y)/2→0. Portanto o limite existe.

Resposta

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