Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y=sin ^2(x), y=0, x=0 e x=pi, em torno:
(1) do eixo x.
(2) do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do sólido gerado pela região R limitada por y = sin^2(x), y = 0, x = 0 e x = π, quando R é rotacionada em torno dos eixos x e y. Esse problema faz parte de volumes por revolução, onde usaremos o método dos discos (ou lavadoras) para o eixo x e o método das cascas cilíndricas para o eixo y.

Passo 2

Para a rotação em torno do eixo x, aplicamos o método dos discos. O volume é dado por
Vx = pi integral0^pi [sin^2(x)]^2 , dx = pi integral0^pi sin^4(x) , dx
Usando a identidade de redução de potência
sin^4(x) = 38 - 12cos(2x) + 18cos(4x),
integramos termo a termo de 0 a π. Os termos com cosseno desaparecem na avaliação e ficamos com
integral0^pi sin^4(x) , dx = 3pi8
Logo,
Vx = pi cdot 3pi8 = 3pi^28

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y, usamos o método das cascas cilíndricas. O volume é
Vy = 2pi integral0^pi x , sin^2(x) , dx
Com sin^2(x)=1-cos(2x)2, temos
integral0^pi x , sin^2(x) , dx = 12integral0^pi x , dx - 12integral0^pi xcos(2x) , dx
Calculamos integral0^pi x , dx = pi^2/2 e, por partes, integral0^pi xcos(2x),dx = [xsin(2x)/2 + cos(2x)/4]0^pi = 0. Assim,
integral0^pi x , sin^2(x) , dx = pi^2/22 = pi^24,
e
Vy = 2pi cdot pi^24 = pi^32

Resposta

Volume para rotação em torno do eixo x: 3pi^28. Volume para rotação em torno do eixo y: pi^32.

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