Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
, em torno:
(1) do eixo
.
(2) do eixo
.
(1) do eixo
(2) do eixo
Passo 1
O enunciado pede para determinar o volume do sólido gerado pela região R limitada por y = sin^2(x), y = 0, x = 0 e x = π, quando R é rotacionada em torno dos eixos x e y. Esse problema faz parte de volumes por revolução, onde usaremos o método dos discos (ou lavadoras) para o eixo x e o método das cascas cilíndricas para o eixo y.
Passo 2
Para a rotação em torno do eixo x, aplicamos o método dos discos. O volume é dado por
Usando a identidade de redução de potência
integramos termo a termo de 0 a π. Os termos com cosseno desaparecem na avaliação e ficamos com
Logo,
Passo 3
Para a rotação em torno do eixo y, usamos o método das cascas cilíndricas. O volume é
Com
, temos
Calculamos
e, por partes,
. Assim,
e
Resposta
Volume para rotação em torno do eixo x:
. Volume para rotação em torno do eixo y:
.