Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(k) lim (x, y, z) (0,0,0) 2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função 2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2 quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0). Este problema está dentro do estudo de limites multivariáveis em cálculo, onde analisamos o comportamento de funções com várias variáveis à medida que se aproximam de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com múltiplas variáveis e aplicar algumas técnicas de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando: 2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2. Quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0), o valor de z tende a 0, então e^z tende a e^0 = 1. Portanto, podemos simplificar a expressão para 2 x^2 y^4x^2+y^4+z^2, já que e^z se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, para encontrar o limite dessa função, vamos avaliar o comportamento do numerador e do denominador separadamente. O numerador 2 x^2 y^4 tende a 0 porque x e y estão se aproximando de 0. O denominador x^2 + y^4 + z^2 também tende a 0, já que todas as componentes estão indo para 0. Então, temos uma situação do tipo 00, que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos analisar o quão rápido o numerador e o denominador estão se aproximando de 0.

Passo 4

Uma estratégia útil aqui é encontrar uma estimativa superior para o valor absoluto da função, ou seja, |2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2|. Sabemos que e^z é contínuo e, próximo de z = 0, temos e^z <= e^1 = e, pois z está se aproximando de 0. Portanto, podemos escrever:
|2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2| <= 2 e x^2 y^4x^2+y^4+z^2

Passo 5

Agora, vamos tentar encontrar uma relação entre x^2 y^4 e x^2 + y^4 + z^2. Observamos que:
x^2 y^4 <= y^4 cdot x^2 + x^2 cdot y^4 <= (x^2 + y^4 + z^2) cdot (algo)
Mas uma abordagem mais direta é reconhecer que x^2 y^4 <= (x^2 + y^4 + z^2)^3, contudo, para simplificar, vamos utilizar desigualdades mais simples para demonstrar que o limite é 0.

Passo 6

Vamos usar a desigualdade x^2 y^4 <= (x^2 + y^4 + z^2)^3. Isso nos permite escrever:

Passo 7

Agora, à medida que (x, y, z) se aproxima de (0,0,0), o termo x^2 + y^4 + z^2 tende a 0. Portanto, (x^2 + y^4 + z^2)^2 tende a 0 ainda mais rapidamente. Assim, o lado direito da nossa desigualdade 2 e (x^2 + y^4 + z^2)^2 também tende a 0.

Passo 8

Usando o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), já que a função original está limitada por uma função que tende a 0, podemos concluir que:
lim (x, y, z) (0,0,0) 2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2 = 0

Resposta

O limite da função quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0) é 0.

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