Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(k) .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Este problema está dentro do estudo de limites multivariáveis em cálculo, onde analisamos o comportamento de funções com várias variáveis à medida que se aproximam de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com múltiplas variáveis e aplicar algumas técnicas de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando: . Quando se aproxima de , o valor de tende a 0, então tende a . Portanto, podemos simplificar a expressão para , já que se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, para encontrar o limite dessa função, vamos avaliar o comportamento do numerador e do denominador separadamente. O numerador tende a 0 porque e estão se aproximando de 0. O denominador também tende a 0, já que todas as componentes estão indo para 0. Então, temos uma situação do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos analisar o quão rápido o numerador e o denominador estão se aproximando de 0.
Passo 4
Uma estratégia útil aqui é encontrar uma estimativa superior para o valor absoluto da função, ou seja, . Sabemos que e^z é contínuo e, próximo de z = 0, temos e^z <= e^1 = e, pois z está se aproximando de 0. Portanto, podemos escrever:
|2 x^2 y^4 e^zx^2+y^4+z^2| <= 2 e x^2 y^4x^2+y^4+z^2
Passo 5
Agora, vamos tentar encontrar uma relação entre x^2 y^4 e x^2 + y^4 + z^2. Observamos que:
Mas uma abordagem mais direta é reconhecer que x^2 y^4 <= (x^2 + y^4 + z^2)^3, contudo, para simplificar, vamos utilizar desigualdades mais simples para demonstrar que o limite é 0.
Passo 6
Vamos usar a desigualdade x^2 y^4 <= (x^2 + y^4 + z^2)^3. Isso nos permite escrever:
Passo 7
Agora, à medida que (x, y, z) se aproxima de (0,0,0), o termo x^2 + y^4 + z^2 tende a 0. Portanto, (x^2 + y^4 + z^2)^2 tende a 0 ainda mais rapidamente. Assim, o lado direito da nossa desigualdade 2 e (x^2 + y^4 + z^2)^2 também tende a 0.
Passo 8
Usando o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), já que a função original está limitada por uma função que tende a 0, podemos concluir que: