Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^infty arctan (x)x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty arctan(x)x^2+1,dx. O conteúdo principal envolve analisar a convergência dessa integral e usar uma substituição estratégica, no caso u=arctan(x), para simplificar o cálculo.

Passo 2

Para estudar a convergência, analisamos o comportamento do integrando em 0 e em infty:
– Quando xto0, temos arctan(x)approx x, então
arctan(x)x^2+1approxx1=x,
cuja integral em 0 converge.
– Quando xtoinfty, vale arctan(x)topi/2, logo
arctan(x)x^2+1approxpi/2x^2,
cuja integral em +infty também converge. Portanto a integral é bem definida.

Passo 3

Fazendo a substituição u=arctan(x) simplifica bastante:
– Temos du=dfracdx1+x^2.
– Quando x=0, u=0. Quando xtoinfty, utopi/2.
Com isso
integral0^inftyarctan(x)x^2+1,dx = integral0^pi/2u,du

Passo 4

Agora basta calcular a integral simples:
$$\int_{0}^{\pi/2}u,du = \Bigl[\frac{u{2}}{2}\Bigr]_{0}{\pi/2} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2} = \frac{\pi^{2}}{8}.
$$

Resposta

dfracpi^28

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