Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo principal envolve analisar a convergência dessa integral e usar uma substituição estratégica, no caso
, para simplificar o cálculo.
Passo 2
Para estudar a convergência, analisamos o comportamento do integrando em 0 e em
:
– Quando , temos
, então
– Quando
cuja integral em 0 converge.
– Quando
cuja integral em
também converge. Portanto a integral é bem definida.
Passo 3
Fazendo a substituição
simplifica bastante:
– Temos .
– Quando ,
. Quando
,
.
Com isso
– Temos
– Quando
Com isso
Passo 4
Agora basta calcular a integral simples:
$$\int_{0}^{\pi/2}u,du = \Bigl[\frac{u{2}}{2}\Bigr]_{0}{\pi/2} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2} = \frac{\pi^{2}}{8}.
$$