Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(j) lim (x, y) (-3,0) (x+3)^2 y2(x+3)^4+2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite ou mostrar que ele não existe para a função de duas variáveis \
f(x,y)=(x+3)^2,y2(x+3)^4+2y^2 quando \
(x,y)to(-3,0). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar a ideia de testar caminhos distintos para ver se o valor é único.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável \
f(u,v)=u^2,v2u^4+2v^2=u^2,v2l(u^4+v^2r), de modo que \
fica ****
(u,v)to(0,0)
E agora o limite é \
.

Passo 3

Para testar a existência do limite, primeiro escolhemos o caminho \
v=0 (ou seja, y=0). Substituindo em
f(u,0)=u^2cdot 02(u^4+0)=0
vem que, ao longo de y=0, o limite vale 0.

Passo 4

Em seguida escolhemos outro caminho do tipo v=mu^2 (ou seja, y=m(x+3)^2), com m constante. Substituindo em
f(u,m u^2)=u^2cdot (m u^2)2l(u^4+(m u^2)^2r)=m,u^42u^4(1+m^2)=m2(1+m^2)
que é constante e depende de m. Por exemplo, para m=1 obtemos 1/4, diferente de 0.

Passo 5

Como dois caminhos deram valores diferentes ( 0 e 1/4), concluímos que o limite não pode ser único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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