Resolva as integrais das funções racionais:
integral (3 x-7) d xx^3+x^2+4 x+4

Passo 1

A integral que queremos resolver é integral 3x - 7x^3 + x^2 + 4x + 4,dx. O conteúdo é integração de funções racionais, e vamos precisar usar frações parciais;

Passo 2

Observando o denominador, fazemos fatoração por agrupamento:
x^3 + x^2 + 4x + 4 = x^2(x+1) + 4(x+1) = (x+1)(x^2 + 4)

Passo 3

Com isso, escrevemos a decomposição em frações parciais:
3x - 7(x+1)(x^2+4) = Ax+1 + Bx + Cx^2+4

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+4) e igualando coeficientes obtemos:
3x - 7 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x+1) = (A+B)x^2 + (B+C)x + (4A+C)

Passo 5

Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, surge o sistema:
A + B = 0, B + C = 3, 4A + C = -7

Passo 6

Resolvendo, encontramos A = -2, B = 2 e C = 1. Então
3x - 7(x+1)(x^2+4) = -2x+1 + 2x+1x^2+4

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral -2x+1,dx = -2ln|x+1|,
integral 2xx^2+4,dx = ln(x^2+4),
integral 1x^2+4,dx = 12arctanl(x2r)

Passo 8

Somando tudo, obtemos a primitiva.

Resposta

-2ln|x+1| + ln(x^2+4) + tfrac12arctanl(tfracx2r) + C

Exercícios relacionados