Explique porque a série sumn=1^infty ln (1+1n) é divergente e que a série 8 sumn=1^infty(-1)^n+1 ln (1+1n) é convergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
  1. sumn=1^infty ln (1+1n)
  2. sumn=1^infty(-1)^n+1 ln (1+1n)
Nosso objetivo é explicar por que a primeira série não converge (ou seja, é divergente) e por que a segunda série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sumn=1^infty ln (1+1n). Para entender se essa série converge ou diverge, podemos simplificar o termo geral usando propriedades do logaritmo.
Sabemos que ln(a) - ln(b) = ln(ab). Observando ln(1+1n), podemos reescrever:
ln(1+1n) = ln(n+1n) = ln(n+1) - ln(n)

Passo 3

Agora, substituindo na série original:
sumn=1^infty [ln(n+1) - ln(n)]
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Escrevendo os primeiros termos:
(ln2 - ln1) + (ln3 - ln2) + (ln4 - ln3) + dots

Passo 4

Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
limN to infty (ln(N+1) - ln1) = limN to infty ln(N+1)
Como ln(N+1) tende ao infinito quando N tende ao infinito, concluímos que a série diverge.

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=1^infty(-1)^n+1 ln (1+1n).
Aqui, temos uma série alternada devido ao termo (-1)^n+1. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que a série sumn=1^infty (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. Os termos an são decrescentes: an+1 <= an.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero: limn to infty an = 0.

Passo 7

Aplicando isso à nossa série:
  1. an = ln(1+1n) é positivo para todo n.
  2. Conforme n aumenta, 1n diminui, então an também diminui.
  3. limn to infty ln(1+1n) = ln(1) = 0.

Passo 8

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série sumn=1^infty(-1)^n+1 ln (1+1n) converge.

Resposta

A primeira série sumn=1^infty ln (1+1n) é divergente, enquanto a segunda série sumn=1^infty(-1)^n+1 ln (1+1n) é convergente.

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