Explique porque a série
é divergente e que a série 8
é convergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
Nosso objetivo é explicar por que a primeira série não converge (ou seja, é divergente) e por que a segunda série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série
. Para entender se essa série converge ou diverge, podemos simplificar o termo geral usando propriedades do logaritmo.
Sabemos que
. Observando
, podemos reescrever:
Passo 3
Agora, substituindo na série original:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Escrevendo os primeiros termos:
Passo 4
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Como
tende ao infinito quando
tende ao infinito, concluímos que a série diverge.
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda série:
.
Aqui, temos uma série alternada devido ao termo
. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que a série
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes: . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 7
Aplicando isso à nossa série:
-
é positivo para todo . - Conforme
aumenta, diminui, então também diminui. -
.
Passo 8
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série
converge.
Resposta
A primeira série
é divergente, enquanto a segunda série
é convergente.