Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(g) lim (x, y) (0,0) y^4-x^42 x^2+2 y^2.

Passo 1

Estamos lidando com o limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede lim(x,y)to(0,0) y^4 - x^42x^2 + 2y^2. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos precisar de análise de caminhos e de uma desigualdade para comparar a função com algo que vá a zero.

Passo 2

Para ver o comportamento ao longo de retas, fazemos y = kx. Substituindo em f(x,y)=y^4 - x^42(x^2 + y^2) temos
(kx)^4 - x^42l(x^2 + (kx)^2r) = (k^4 - 1)x^42(1 + k^2)x^2 = k^4 - 12(1+k^2),x^2
Como xto0 isso vai a zero para qualquer k, então em todas as retas obtemos limite zero.

Passo 3

Para provar de forma geral (independente do caminho), estimamos o numerador:
|y^4 - x^4| <= |y^4| + |x^4| = x^4 + y^4 <= (x^2 + y^2)^2
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$$\biggl|\frac{y^4 - x4}{2(x2 + y^2)}\biggr|
\le \frac{(x^2 + y2)2}{2(x^2 + y^2)}
= \frac{x^2 + y^2}{2}.$$
Como gl|y^4 - x^42(x^2 + y^2)gr| <= (x^2 + y^2)^22(x^2 + y^2) = x^2 + y^22 quando x^2 + y^2to0, o lado direito vai a zero. Pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa função também é zero.

Resposta

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