Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(g)
.
(g)
Passo 1
Estamos lidando com o limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede
. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos precisar de análise de caminhos e de uma desigualdade para comparar a função com algo que vá a zero.
Passo 2
Para ver o comportamento ao longo de retas, fazemos
. Substituindo em
temos
Como
isso vai a zero para qualquer
, então em todas as retas obtemos limite zero.
Passo 3
Para provar de forma geral (independente do caminho), estimamos o numerador:
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$$\biggl|\frac{y^4 - x4}{2(x2 + y^2)}\biggr|
\le \frac{(x^2 + y2)2}{2(x^2 + y^2)}
= \frac{x^2 + y^2}{2}.$$
Como quando
, o lado direito vai a zero. Pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa função também é zero.
Como
Resposta
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