Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). O exercício pede para mostrar que:
Vamos precisar entender como o limite funciona para funções de duas variáveis e usar algumas técnicas para “prender” a função entre duas outras que sabemos o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão em coordenadas polares. Isso ajuda a simplificar porque em polares, podemos expressar
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo).
Sabemos que:
Então, substituindo na nossa função:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos o denominador:
Agora, a função fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar um limite quando
. Observamos que
e
são funções limitadas, ou seja, elas não excedem certos valores:
Portanto:
Passo 5
Sabemos que:
Então, pela desigualdade que mostramos:
E como
quando
, pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa função também é 0.
Resposta
Portanto,