Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a) lim (x, y) (0,0) x^4|y|x^2+y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). O exercício pede para mostrar que:
lim (x, y) (0,0) x^4|y|x^2+y^2 = 0
Vamos precisar entender como o limite funciona para funções de duas variáveis e usar algumas técnicas para “prender” a função entre duas outras que sabemos o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão em coordenadas polares. Isso ajuda a simplificar porque em polares, podemos expressar x e y em termos de r (a distância até a origem) e theta (o ângulo).
Sabemos que:
x = r cos(theta) y = r sin(theta)
Então, substituindo na nossa função:
x^4|y|x^2+y^2 = (r cos(theta))^4 cdot |r sin(theta)|(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos o denominador:
(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2 cdot 1 = r^2
Agora, a função fica:
r^4 cos^4(theta) cdot r |sin(theta)|r^2 = r^5 cos^4(theta) |sin(theta)|r^2 = r^3 cos^4(theta) |sin(theta)|

Passo 4

Agora, queremos encontrar um limite quando r 0. Observamos que cos^4(theta) e |sin(theta)| são funções limitadas, ou seja, elas não excedem certos valores:
  • cos^4(theta) <= 1
  • |sin(theta)| <= 1
Portanto:
r^3 cos^4(theta) |sin(theta)| <= r^3 cdot 1 cdot 1 = r^3

Passo 5

Sabemos que:
limr 0 r^3 = 0
Então, pela desigualdade que mostramos:
0 <= x^4|y|x^2+y^2 <= r^3
E como r^3 0 quando r 0, pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa função também é 0.

Resposta

Portanto,
lim (x, y) (0,0) x^4|y|x^2+y^2 = 0

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