Determine todos os pontos nos quais a função g é contínua, em que g é a função real de duas variáveis reais dada por
g(x, y)=cc 2 x^2 sen^2(x)x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 2, & se (x, y)=(0,0)
Justifique sua resposta.

Passo 1

Estamos lidando com continuidade de uma função de duas variáveis definida por partes. O conteúdo principal é continuidade de quociente de funções contínuas (quando o denominador não zera) e cálculo de limite no ponto (0,0) para testar continuidade ali.

Passo 2

Para (x,y) ≠ (0,0) vemos que o numerador 2 x² sen²(x) e o denominador x² + y⁴ são funções contínuas, e o denominador nunca é zero. Logo g é quociente de contínuas com denominador não nulo, portanto g é contínua em todo ponto (x,y) ≠ (0,0).
Resta analisar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se lim_{(x,y)→(0,0)} g(x,y) = g(0,0) = 2. Usamos a desigualdade |sen(x)| ≤ |x|, assim
[ |g(x,y)| = \frac{2 x{2},\sin{2}(x)}{x{2}+y{4}} \le \frac{2 x{2},x{2}}{x{2}+y{4}} = \frac{2 x{4}}{x{2}+y^{4}} ]
e como x² + y⁴ ≥ x² temos
[ |g(x,y)| \le \frac{2 x{4}}{x{2}} = 2 x^{2}. ]
Logo, quando (x,y)→(0,0), temos 2 x² → 0, logo g(x,y) → 0. Como g(0,0) = 2 ≠ 0, a função não é contínua em (0,0).

Resposta

g é contínua em todos os pontos (x,y) com (x,y) ≠ (0,0) e descontínua em (0,0).

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