Determine todos os pontos nos quais a função
é contínua, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
Estamos lidando com continuidade de uma função de duas variáveis definida por partes. O conteúdo principal é continuidade de quociente de funções contínuas (quando o denominador não zera) e cálculo de limite no ponto (0,0) para testar continuidade ali.
Passo 2
Para (x,y) ≠ (0,0) vemos que o numerador 2 x² sen²(x) e o denominador x² + y⁴ são funções contínuas, e o denominador nunca é zero. Logo g é quociente de contínuas com denominador não nulo, portanto g é contínua em todo ponto (x,y) ≠ (0,0).
Resta analisar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se lim_{(x,y)→(0,0)} g(x,y) = g(0,0) = 2. Usamos a desigualdade |sen(x)| ≤ |x|, assim
[ |g(x,y)| = \frac{2 x{2},\sin{2}(x)}{x{2}+y{4}} \le \frac{2 x{2},x{2}}{x{2}+y{4}} = \frac{2 x{4}}{x{2}+y^{4}} ]
e como x² + y⁴ ≥ x² temos
[ |g(x,y)| \le \frac{2 x{4}}{x{2}} = 2 x^{2}. ]
Logo, quando (x,y)→(0,0), temos 2 x² → 0, logo g(x,y) → 0. Como g(0,0) = 2 ≠ 0, a função não é contínua em (0,0).
Resta analisar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se lim_{(x,y)→(0,0)} g(x,y) = g(0,0) = 2. Usamos a desigualdade |sen(x)| ≤ |x|, assim
[ |g(x,y)| = \frac{2 x{2},\sin{2}(x)}{x{2}+y{4}} \le \frac{2 x{2},x{2}}{x{2}+y{4}} = \frac{2 x{4}}{x{2}+y^{4}} ]
e como x² + y⁴ ≥ x² temos
[ |g(x,y)| \le \frac{2 x{4}}{x{2}} = 2 x^{2}. ]
Logo, quando (x,y)→(0,0), temos 2 x² → 0, logo g(x,y) → 0. Como g(0,0) = 2 ≠ 0, a função não é contínua em (0,0).
Resposta
g é contínua em todos os pontos (x,y) com (x,y) ≠ (0,0) e descontínua em (0,0).