Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) x^4+y^2+z^3x^4+2 y^2+z.

Passo 1

A questão pede o limite da função f(x,y,z)=x^4+y^2+z^3x^4+2y^2+z quando (x,y,z)to(0,0,0). Como em várias variáveis o limite deve ser o mesmo por todo caminho, vamos usar o conceito de limite multivariado e testar trajetórias diferentes.

Passo 2

Considere o caminho ao longo do eixo y, ou seja, fixe x=0 e z=0. Substituindo em f temos: f(0,y,0)=0^4+y^2+0^30^4+2y^2+0=y^22y^2=12 Isso mostra que sobre esse caminho o limite é 1/2.

Passo 3

Agora considere o caminho ao longo do eixo z, isto é, fixe x=0 e y=0. Substituindo em f resulta em: f(0,0,z)=0^4+0^2+z^30^4+2cdot0^2+z=z^3z=z^2 Quando zto0, obtemos z^2to0, logo sobre esse caminho o limite é 0.

Passo 4

Como os limites obtidos ( 1/2 e 0) são diferentes, concluímos que não há um valor único para todos os caminhos, ou seja, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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