Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
A questão pede o limite da função
quando
. Como em várias variáveis o limite deve ser o mesmo por todo caminho, vamos usar o conceito de limite multivariado e testar trajetórias diferentes.
Passo 2
Considere o caminho ao longo do eixo
, ou seja, fixe
e
. Substituindo em
temos:
Isso mostra que sobre esse caminho o limite é
.
Passo 3
Agora considere o caminho ao longo do eixo
, isto é, fixe
e
. Substituindo em
resulta em:
Quando
, obtemos
, logo sobre esse caminho o limite é
.
Passo 4
Como os limites obtidos (
e
) são diferentes, concluímos que não há um valor único para todos os caminhos, ou seja, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.