Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1z^2+4 z+13 d z, C:|z-3 i|=3

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a integral de linha ointC 1z^2+4z+13dz onde C é o círculo |z-3i|=3. O conteúdo principal é o Teorema de Resíduos de Cauchy, e vamos precisar achar os polos da função f(z)=1/(z^2+4z+13), verificar quais ficam dentro de C e então calcular o resíduo.

Passo 2

Primeiro, encontramos os polos resolvendo a equação do denominador igual a zero:
z^2+4z+13=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
z=-4pmraiz4^2-4cdot1cdot132 = -4pmraiz16-522 = -4pmraiz-362 = -4pm6i2 = -2pm3i
Portanto os polos são z1=-2+3i e z2=-2-3i.

Passo 3

Agora, precisamos ver quais desses polos estão dentro do círculo |z-3i|=3. Calculamos a distância de cada polo até o centro 3i:
Para z1=-2+3i:
|z1-3i| = |-2+3i - 3i| = |-2| = 2 < 3,
logo z1 está dentro. Para z2=-2-3i:
|z2-3i| = |-2-3i - 3i| = raiz(-2)^2+(-6)^2 = raiz4+36 = raiz40 > 3,
portanto z2 fica fora de C.

Passo 4

Como apenas z1 está dentro de C, calculamos o resíduo de f em z1. É um polo simples, então:
Res(f,z1) = limzto z1 (z-z1)1(z-z1)(z-z2) = 1z1 - z2
Substituindo z1=-2+3i e z2=-2-3i:
z1 - z2 = (-2+3i) - (-2-3i) = 6i Longrightarrow Res(f,z1)=16i = -i6

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema de Resíduos de Cauchy, se orientado positivamente,
ointC f(z),dz = 2pi i sumpolos dentro Res(f) = 2pi i l(-tfraci6r) = 2pi6 = pi3

Resposta

pi3

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