Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular a integral de linha
onde
é o círculo
. O conteúdo principal é o Teorema de Resíduos de Cauchy, e vamos precisar achar os polos da função
, verificar quais ficam dentro de
e então calcular o resíduo.
Passo 2
Primeiro, encontramos os polos resolvendo a equação do denominador igual a zero:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto os polos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos ver quais desses polos estão dentro do círculo
. Calculamos a distância de cada polo até o centro
:
Para :
Para
logo
está dentro. Para
:
portanto
fica fora de
.
Passo 4
Como apenas
está dentro de
, calculamos o resíduo de
em
. É um polo simples, então:
Substituindo
e
:
Passo 5
Finalmente, pelo Teorema de Resíduos de Cauchy, se orientado positivamente,