Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC tan zz d z, C:|z-1|=2

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral
ointC tan zz ,dz
no contorno Ccolon |z-1|=2. O conteúdo é o Teorema de Resíduos de Cauchy, que diz que podemos avaliar a integral somando os resíduos das singularidades de tfractan zz que estão dentro de C. Para isso, precisamos identificar os polos da função e calcular seus respectivos resíduos.

Passo 2

Identificamos as singularidades de tfractan zz. A função tan z tem polos simples em
z = pi2 + kpi, kinZ
e o fator 1/z tem polo simples em z=0. Agora verificamos quais desses pontos satisfazem |z-1|<2. Calculamos as distâncias:
  • |0-1|=1<2 (dentro de C),
  • |tfracpi2-1|approx0,57<2 (dentro de C),
  • o próximo polo $ -\tfrac{\pi}{2}$ fica a distância -tfracpi2 e está fora, assim como os demais polos.

Passo 3

No polo z=0, que é simples, o resíduo é
Resl(tan zz,z=0r)=limzto0zcdottan zz=tan0=0

Passo 4

No polo z=tfracpi2, tan z tem um polo simples. Sabemos que perto de z0=tfracpi2
tan zsimAz-tfracpi2,
onde A=-1 (pois cos'(tfracpi2)=-1 e sin(tfracpi2)=1). Assim o resíduo de tan z em tfracpi2 é -1. Então
Resl(tan zz,z=tfracpi2r)=-1tfracpi2=-2pi

Passo 5

Aplicando o Teorema de Resíduos de Cauchy, a integral é
ointCtan zzdz=2pi isumResíduos=2pi il(0-2pir)=-4i í

Resposta

-4i

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