Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
Neste exercício queremos calcular a integral
no contorno
. O conteúdo é o Teorema de Resíduos de Cauchy, que diz que podemos avaliar a integral somando os resíduos das singularidades de
que estão dentro de
. Para isso, precisamos identificar os polos da função e calcular seus respectivos resíduos.
Passo 2
Identificamos as singularidades de
. A função
tem polos simples em
e o fator
tem polo simples em
. Agora verificamos quais desses pontos satisfazem
. Calculamos as distâncias:
-
(dentro de ), -
(dentro de ), - o próximo polo $ -\tfrac{\pi}{2}$ fica a distância
e está fora, assim como os demais polos.
Passo 3
No polo
, que é simples, o resíduo é
Passo 4
No polo
,
tem um polo simples. Sabemos que perto de
onde
(pois
e
). Assim o resíduo de
em
é
. Então
Passo 5
Aplicando o Teorema de Resíduos de Cauchy, a integral é
Resposta
-4i