Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(i) lim (x, y) (-3,0) (x+3)^3 y(x+3)^4+y^4.

Passo 1

A gente quer o limite de uma função de duas variáveis em $(x,y)\to(-3,0)$. O conteúdo aqui é limite em múltiplas variáveis e vamos precisar usar a ideia de examinar diferentes caminhos para ver se o valor fica sempre igual.

Passo 2

Primeiro fazemos a troca de variáveis $u = x+3$ e $v = y$, assim o ponto $ (x,y)=(-3,0)$ vira $ (u,v)=(0,0)$. A função fica
u = x+3

Passo 3

Para ver se o limite existe, escolhemos a reta $v = m,u$ passando pela origem. Substituindo temos
v = m,u
Esse valor depende do parâmetro $m$. Por exemplo, para $m=0$ o limite dá $0$ e para $m=1$ dá $1/2$. Como o resultado muda conforme a reta escolhida, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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