Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y)\ se aproxima de \(0,2)\ para a expressão \frac{2x - y}{4x^2 - y^2}\. O conteúdo aqui é limite em R^2 e vamos precisar verificar se o denominador não se anula no ponto para usar substituição direta.
Passo 2
Há duas coisas a checar: o valor do numerador e do denominador no ponto. Primeiro, avalio o denominador em \(x=0,y=2)\:
$
Como isso é diferente de zero, a função é contínua em torno de \(0,2)\.
Como isso é diferente de zero, a função é contínua em torno de \(0,2)\.
Passo 3
Agora calculo o numerador em \(x=0,y=2)\:
$
Passo 4
Como o denominador vale \(-4)\ e o numerador vale \(-2)\, basta dividir para obter o limite.
Passo 5
Dividindo, temos \frac{-2}{-4} = \frac12\, então o limite existe e vale \frac12\.
Resposta
\frac12