Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função analisada é \displaystyle f(x,y,z)=\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O ponto onde a variável tripla se aproxima é (0,0,0).
  • A expressão não está definida no ponto (0,0,0) (denominador zero), mas o limite pode existir mesmo assim.
  • O objetivo é provar que o limite existe e calcular o seu valor, ou mostrar que ele não existe.

Passo 2

Estratégia inicial (informal): uma maneira clássica de tratar limites em várias variáveis é mostrar que o valor absoluto da função pode ser estimado por algo que tende a zero quando (x,y,z)\to(0,0,0). Se conseguirmos uma desigualdade do tipo
\left|\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right|\le G(x,y,z)
com G(x,y,z)\to0 quando (x,y,z)\to(0,0,0), então pela desigualdade do aperto (squeeze theorem) o limite da função será 0. Vou construir essa estimativa passo a passo.

Passo 3

Usar a desigualdade AM-GM em variáveis não negativas. Primeiro explico o que é AM-GM de forma simples: para três números não negativos u,v,w, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica. Em fórmulas,
\frac{u+v+w}{3}\ge (u v w)^{1/3}.
Intuição curta: a média aritmética mede um “valor central” por soma; a média geométrica mede um “valor central” por produto. Para números iguais as duas médias coincidem; quando há dispersão a média aritmética é maior. Essa é uma desigualdade padrão que pode ser provada por várias maneiras (por exemplo repetindo o caso de dois elementos ou usando convexidade/logs), mas aqui vamos usá-la diretamente aplicando-a a u=x^{2}, v=y^{2}, w=z^{2} (note que x^{2},y^{2},z^{2}\ge0).
Aplicando AM-GM a u=x^{2}, v=y^{2}, w=z^{2} obtemos
\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\ge (x^{2}y^{2}z^{2})^{1/3}.
Elevando ambos os lados ao expoente 3/2 (operações válidas pois ambos os lados são não negativos) dá
\left(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2} \ge (x^{2}y^{2}z^{2})^{1/2}.
O lado direito é simplesmente |x y z|. Portanto obtemos a desigualdade útil
|x y z|\le \left(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2}.

Passo 4

A partir da desigualdade do passo anterior, dividimos por x^{2}+y^{2}+z^{2} (esta divisão é feita em pontos diferentes da origem, que é o que interessa ao avaliar o limite) para estimar o valor absoluto da função:
\left|\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right| \le \frac{\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \frac{1}{3^{3/2}}\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
Reescrevendo de forma mais clara:
\left|\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right| \le \frac{1}{3^{3/2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema do aperto (squeeze theorem). Definindo
G(x,y,z)=\frac{1}{3^{3/2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
temos para todos (x,y,z)\neq(0,0,0) a desigualdade
-\;G(x,y,z)\le \frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le G(x,y,z).
Sabemos que \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\to0 quando (x,y,z)\to(0,0,0), logo G(x,y,z)\to0. Pelo teorema do aperto, isso implica
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=0.
Como check rápido de consistência: se tomarmos a trajetória x=y=z=t com t\to0, a expressão vira \dfrac{t^{3}}{3t^{2}}=\dfrac{t}{3}\to0, compatível com a conclusão.

Resposta

0

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