Determine o limite, caso exista, das seguintes sequências:
Passo 1
Resumindo a questão: queremos achar o limite de
quando
. O conteúdo aqui é limite de sequências exponenciais e vamos precisar do resultado de
, além de usar logaritmos e a expansão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o logaritmo da sequência. Definimos
[\n\ln(a_n)=3n\ln!\Bigl(1+\frac{7}{6n}\Bigr)\n]
Isso facilita porque transforma potência em produto.
[\n\ln(a_n)=3n\ln!\Bigl(1+\frac{7}{6n}\Bigr)\n]
Isso facilita porque transforma potência em produto.
Passo 3
Agora uso a expansão de Taylor para
quando
é pequeno:
[\n\ln(1+u)=u-\frac{u2}{2}+o(u2)\n]
Aqui, , que fica pequeno conforme
.
[\n\ln(1+u)=u-\frac{u2}{2}+o(u2)\n]
Aqui,
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
[\n\ln(a_n)=3n\Bigl(\frac{7}{6n}-\frac12\bigl(\frac{7}{6n}\bigr)2+o(\tfrac{1}{n2})\Bigr)\n]
Ao simplificar, obtemos
[\n\ln(a_n)=\frac{7}{2}-\frac{147}{72n}+o(\tfrac{1}{n})\n]
Então .
[\n\ln(a_n)=3n\Bigl(\frac{7}{6n}-\frac12\bigl(\frac{7}{6n}\bigr)2+o(\tfrac{1}{n2})\Bigr)\n]
Ao simplificar, obtemos
[\n\ln(a_n)=\frac{7}{2}-\frac{147}{72n}+o(\tfrac{1}{n})\n]
Então
Passo 5
Como
e a função exponencial é contínua, concluímos que
[\na_n=e^{\ln(a_n)}\to e^{\frac{7}{2}}\n]
Pronto!
[\na_n=e^{\ln(a_n)}\to e^{\frac{7}{2}}\n]
Pronto!