Determine o limite, caso exista, das seguintes sequências:
an=(1+76 n)^3 n

Passo 1

Resumindo a questão: queremos achar o limite de an=(1+76n)^3n quando ntoinfty. O conteúdo aqui é limite de sequências exponenciais e vamos precisar do resultado de l(1+xnr)^nto e^x, além de usar logaritmos e a expansão de ln(1+u).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o logaritmo da sequência. Definimos
[\n\ln(a_n)=3n\ln!\Bigl(1+\frac{7}{6n}\Bigr)\n]
Isso facilita porque transforma potência em produto.

Passo 3

Agora uso a expansão de Taylor para ln(1+u) quando u é pequeno:
[\n\ln(1+u)=u-\frac{u2}{2}+o(u2)\n]
Aqui, u=76n, que fica pequeno conforme ntoinfty.

Passo 4

Substituindo u na expressão de ln(an):
[\n\ln(a_n)=3n\Bigl(\frac{7}{6n}-\frac12\bigl(\frac{7}{6n}\bigr)2+o(\tfrac{1}{n2})\Bigr)\n]
Ao simplificar, obtemos
[\n\ln(a_n)=\frac{7}{2}-\frac{147}{72n}+o(\tfrac{1}{n})\n]
Então ln(an)to72.

Passo 5

Como ln(an)to72 e a função exponencial é contínua, concluímos que
[\na_n=e^{\ln(a_n)}\to e^{\frac{7}{2}}\n]
Pronto!

Resposta

e^7/2

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