Encontre os 4 primeiros termos da série de Taylor da função f dada no ponto a.
f(x)=ln (x), a=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos da série de Taylor de ln(x) centrada em a=1. Para isso, vamos usar a definição de série de Taylor, que exige calcular as derivadas de ln(x) em x=1 e depois aplicar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Calcular as derivadas de f(x)=ln(x) e avaliá-las em x=1:
f(x)=ln(x) implica
f(1)=0,
f'(x)=1xLongrightarrow f'(1)=1,
f''(x)=-1x^2Longrightarrow f''(1)=-1,
f'''(x)=2x^3Longrightarrow f'''(1)=2,
f^(4)(x)=-6x^4Longrightarrow f^(4)(1)=-6

Passo 3

A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n em torno de a é
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!,(x-a)^k

Passo 4

Substituindo os valores de f^(k)(1) em T4(x) e simplificando, obtemos
T4(x) =(x-1) -(x-1)^22 +(x-1)^33 -(x-1)^44

Resposta

Os quatro primeiros termos da série de Taylor de ln(x) em a=1 são (x-1), ; -(x-1)^22, ; (x-1)^33 e -(x-1)^44 .

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