Determine o limite, caso exista, das seguintes sequências:
an=12 n^3-5100 n^2-n+3 n^3

Passo 1

No primeiro passo, a gente vê que o exercício pede pra determinar o limite, quando n to infty, da sequência an = 12 n^3 - 5100 n^2 - n + 3 n^3. Isso é conteúdo de cálculo de limites de sequências, mais especificamente de funções racionais em n. Pra resolver, vamos precisar usar a ideia de fatorar o maior grau para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar fatorando n^3 no numerador, porque é o termo de maior grau ali.

Passo 3

12 n^3 - 5 = n^3 l(12 - 5n^3r)

Passo 4

Agora a mesma coisa no denominador: a gente fatorou n^3 como dessa jogada.

Passo 5

3 n^3 + 100 n^2 - n = n^3 l(3 + 100n - 1n^2r)

Passo 6

Substituindo essas fatorações em an, o n^3 cancela no numerador e no denominador, e a gente obtém uma forma mais fácil de analisar.

Passo 7

an = n^3 l(12 - 5n^3r)n^3 l(3 + 100n - 1n^2r) = 12 - 5n^33 + 100n - 1n^2

Passo 8

Por fim, quando n cresce sem limite ( n to infty), os termos 5n^3, 100n e 1n^2 vão pra zero. Então, analisando o limite, sobra só a razão dos coeficientes principais.

Passo 9

limn to infty an = 123

Resposta

O limite da sequência é 4.

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