Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}.
O conteúdo principal será usar manipulações algébricas (multiplicar pelo conjugado) e, depois, aplicar o Teorema de continuidade de funções elementares, em particular de \sqrt{\;\cdot\;}.

Passo 2

Para evitar o indeterminado \tfrac{0}{0}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}, ou seja, por 1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}. Denotando r^{2}=x^{2}+y^{2}, temos:
\frac{r^{2}}{1-\sqrt{1+r^{2}}} \;\times\; \frac{1+\sqrt{1+r^{2}}}{1+\sqrt{1+r^{2}}} = \frac{r^{2}\,\bigl(1+\sqrt{1+r^{2}}\bigr)}{1-\bigl(1+r^{2}\bigr)}.

Passo 3

No denominador aparece
1-\bigl(1+r^{2}\bigr) = -r^{2},
portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{r^{2}\,\bigl(1+\sqrt{1+r^{2}}\bigr)}{-r^{2}} = -\bigl(1+\sqrt{1+r^{2}}\bigr).
Aqui usamos o Teorema de operações com limites (produto, quociente) e a álgebra básica para cancelar r^{2}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando (x,y)\to(0,0), isto é r\to0. Como a função t\mapsto\sqrt{1+t^{2}} é contínua em t=0, vale
\lim_{r\to0} -\bigl(1+\sqrt{1+r^{2}}\bigr) = -\bigl(1+\sqrt{1+0}\bigr) = -2.
Usamos aqui o Teorema da continuidade de funções compostas.

Resposta

-2

Exercícios relacionados