Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,11,-2)}\left(x^{5} z+4 x^{2} y z^{2}+3 y^{3}-z\right).

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y,z)\to(1,11,-2)}\bigl(x^{5}z + 4x^{2}yz^{2} + 3y^{3} - z\bigr).
Estamos tratando de uma função multivariada que é soma e produto de monômios em x,y,z. O conteúdo da matéria é limite em várias variáveis e o teorema de continuidade de polinômios, que nos permite usar substituição direta.

Passo 2

Cada monômio em x,y,z (como x^5 z, x^2 y z^2 etc.) é função contínua, e soma e produto de funções contínuas continuam contínuas. Logo, a função
f(x,y,z)=x^{5}z + 4x^{2}yz^{2} + 3y^{3} - z
é contínua em todo \mathbb{R}^3. Pelo teorema da continuidade,
\lim_{(x,y,z)\to(1,11,-2)}f(x,y,z)=f(1,11,-2).

Passo 3

Agora avaliamos f(1,11,-2) termo a termo:
1^5\cdot(-2) = -2,
4\cdot1^2\cdot11\cdot(-2)^2 = 4\cdot11\cdot4 = 176,
3\cdot11^3 = 3\cdot1331 = 3993,
-\,z = -\,(-2) = 2.

Passo 4

Somando todos os resultados:
-2 + 176 + 3993 + 2 = 4169.

Resposta

\boxed{4169}

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