1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
e) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y)\to(0,0) da função
f(x,y)=\frac{2y}{x+y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \dfrac{2y}{x+y}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Observação importante: a função não está definida quando x+y=0 (pois o denominador seria zero). Ainda assim, podemos investigar o limite aproximando (0,0) por pontos em que a função está definida.
O que é pedido: determinar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2y}{x+y}
existe; se existir, encontrar seu valor; caso contrário, demonstrar que não existe.

Passo 2

Estratégia teórica que vou usar (explicada didaticamente):
  • Teorema (critério de sequências para limites em espaços métricos): o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe e é igual a L se, e somente se, para toda sequência (x_n,y_n) com (x_n,y_n)\to(0,0) e (x_n,y_n) no domínio de f, tivermos f(x_n,y_n)\to L.
  • Consequência prática (teste de caminhos/seqüências): se existir ao menos duas sequências (ou dois caminhos) (x_n,y_n)\to(0,0) e (\tilde x_n,\tilde y_n)\to(0,0) tais que f(x_n,y_n) converge para um limite L_1 e f(\tilde x_n,\tilde y_n) converge para um limite distinto L_2 com L_1\neq L_2, então o limite geral não existe.
Vou aplicar esse critério construindo caminhos simples (linhas) que passam por pontos onde a função está definida e chegando ao origem.

Passo 3

Caminho 1: aproximar por pontos com y=0 (e x\to0). Tomemos a sequência (x_n,y_n)=\bigl(\tfrac{1}{n},0\bigr), que tende a (0,0) quando n\to\infty. Para esses pontos o denominador é x_n+y_n=\tfrac{1}{n}\neq0, então a função está definida e
f\bigl(x_n,y_n\bigr)=\frac{2\cdot 0}{\tfrac{1}{n}+0}=0.
Portanto f(x_n,y_n)\to 0. Conclusão parcial: ao longo do caminho y=0 o limite (quando se aproxima da origem) é 0.

Passo 4

Caminho 2: aproximar por pontos com y=x (e x\to0). Tomemos a sequência (\tilde x_n,\tilde y_n)=\bigl(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\bigr), que tende a (0,0). Para esses pontos o denominador é \tilde x_n+\tilde y_n=\tfrac{2}{n}\neq0, então a função está definida e
f\bigl(\tilde x_n,\tilde y_n\bigr)=\frac{2\cdot \tfrac{1}{n}}{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n}}=\frac{2\cdot \tfrac{1}{n}}{\tfrac{2}{n}}=1.
Portanto f(\tilde x_n,\tilde y_n)\to 1. Conclusão parcial: ao longo do caminho y=x o limite (quando se aproxima da origem) é 1.

Passo 5

Aplicando o critério de sequências: encontramos duas sequências que se aproximam de (0,0) cujas imagens por f convergem para limites diferentes ( 0 e 1). Assim, não existe um único número L tal que todas as sequências no domínio que tendem a (0,0) façam f convergir para L. Portanto o limite não existe.
Comentário adicional (intuição útil para a prova): se em vez de linhas específicas usarmos a família de linhas y=mx com m\neq -1, substituindo obtemos
f(x,mx)=\frac{2mx}{x+mx}=\frac{2m}{1+m},
que depende de m. Como esse valor varia com m (por exemplo, m=0 0, m=1 1), isso reforça que o limite não é único e, portanto, não existe. Note que m=-1 corresponde à linha onde o denominador é zero (função não definida aí), então evitamos esse caso ao construir caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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