- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
e)
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da função
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O ponto de interesse é
. - Observação importante: a função não está definida quando
(pois o denominador seria zero). Ainda assim, podemos investigar o limite aproximando por pontos em que a função está definida.
O que é pedido: determinar se o limite
existe; se existir, encontrar seu valor; caso contrário, demonstrar que não existe.
Passo 2
Estratégia teórica que vou usar (explicada didaticamente):
- Teorema (critério de sequências para limites em espaços métricos): o limite
existe e é igual a se, e somente se, para toda sequência com e no domínio de , tivermos . - Consequência prática (teste de caminhos/seqüências): se existir ao menos duas sequências (ou dois caminhos)
e tais que converge para um limite e converge para um limite distinto com , então o limite geral não existe.
Vou aplicar esse critério construindo caminhos simples (linhas) que passam por pontos onde a função está definida e chegando ao origem.
Passo 3
Caminho 1: aproximar por pontos com
(e
). Tomemos a sequência
, que tende a
quando
. Para esses pontos o denominador é
, então a função está definida e
Portanto
. Conclusão parcial: ao longo do caminho
o limite (quando se aproxima da origem) é
.
Passo 4
Caminho 2: aproximar por pontos com
(e
). Tomemos a sequência
, que tende a
. Para esses pontos o denominador é
, então a função está definida e
Portanto
. Conclusão parcial: ao longo do caminho
o limite (quando se aproxima da origem) é
.
Passo 5
Aplicando o critério de sequências: encontramos duas sequências que se aproximam de
cujas imagens por
convergem para limites diferentes (
e
). Assim, não existe um único número
tal que todas as sequências no domínio que tendem a
façam
convergir para
. Portanto o limite não existe.
Comentário adicional (intuição útil para a prova): se em vez de linhas específicas usarmos a família de linhas
com
, substituindo obtemos
que depende de
. Como esse valor varia com
(por exemplo,
dá
,
dá
), isso reforça que o limite não é único e, portanto, não existe. Note que
corresponde à linha onde o denominador é zero (função não definida aí), então evitamos esse caso ao construir caminhos.
Resposta
O limite não existe.