1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(-1,2)}\left(x^{3} y^{3}+2 x y^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede-se o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-1,2)}\bigl(x^{3}y^{3}+2xy^{2}+y^{2}\bigr).
  • A expressão é um polinômio em x e y: f(x,y)=x^{3}y^{3}+2xy^{2}+y^{2}.
  • O ponto de aproximação é (-1,2).
Portanto queremos saber se existe o limite da função f quando (x,y) tende a (-1,2) e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Teoremas e propriedades que vou usar (enunciados e explicação intuitiva).
  1. Projeções contínuas: as funções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Intuitivamente, à medida que (x,y) se aproxima de (a,b), a coordenada x se aproxima de a e a coordenada y se aproxima de b.
  2. Regras de limite (operações com limites em multivariáveis): se existem \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}u(x,y)=U e \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}v(x,y)=V, então valem:
    • soma: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}\bigl(u+v\bigr)=U+V,
    • produto: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}(u\cdot v)=U\cdot V,
    • multiplicação por constante: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}(c\cdot u)=c\cdot U,
    • potência (inteira positiva): \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}\bigl(u^n\bigr)=U^n para n\in\mathbb{N}.
Essas regras são análogas às regras de limite em uma variável e valem em \mathbb{R}^2 porque limites em multivariáveis obedecem às mesmas propriedades algébricas quando os limites dos termos existem.
  1. Continuidade de polinômios: todo polinômio em x e y é contínuo em todo ponto de \mathbb{R}^2. Consequência prática: para um polinômio P(x,y),
    \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}P(x,y)=P(a,b).
    Explicação intuitiva: polinômios são compostos por somas e produtos das coordenadas, e como somas e produtos preservam limites, a substituição direta funciona.
Vou usar esses resultados para calcular o limite por substituição passo a passo justificando cada operação.

Passo 3

Limites das coordenadas e potências básicas.
Pelo item 1, temos
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} x = -1,\qquad \lim_{(x,y)\to(-1,2)} y = 2.
Aplicando a regra de potência (item 2),
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} x^{3} = \bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} x\bigr)^{3} = (-1)^{3},
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y^{3} = \bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y\bigr)^{3} = 2^{3},
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y^{2} = \bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y\bigr)^{2} = 2^{2}.
Calculemos os valores numéricos:
(-1)^{3} = -1,\qquad 2^{3}=8,\qquad 2^{2}=4.

Passo 4

Aplicação das regras de produto aos termos.
Considere o primeiro termo x^{3}y^{3}. Usando a regra do produto,
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} x^{3}y^{3} = \bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} x^{3}\bigr)\cdot\bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y^{3}\bigr) = (-1)\cdot 8 = -8.
Para o segundo termo 2xy^{2}, primeiro extraímos a constante 2 (regra de multiplicação por constante) e depois aplicamos produto:
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} 2xy^{2} = 2\cdot\bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} x\bigr)\cdot\bigl(\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y^{2}\bigr) = 2\cdot(-1)\cdot 4 = -8.
Para o terceiro termo y^{2} já calculamos:
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} y^{2} = 4.

Passo 5

Soma dos limites e conclusão.
Agora aplicamos a regra da soma:
\lim_{(x,y)\to(-1,2)}\bigl(x^{3}y^{3}+2xy^{2}+y^{2}\bigr) = \bigl(-8\bigr) + \bigl(-8\bigr) + 4 = -12.
Alternativa curta (justificação conceitual): como a função é um polinômio em x e y, é contínua em (-1,2), então o limite é simplesmente o valor da função em (-1,2), ou seja, f(-1,2)=-12.

Resposta

-12

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