- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede-se o limite
. - A expressão é um polinômio em
e : . - O ponto de aproximação é
.
Portanto queremos saber se existe o limite da função
quando
tende a
e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Teoremas e propriedades que vou usar (enunciados e explicação intuitiva).
-
Projeções contínuas: as funções
e são contínuas em todo . Intuitivamente, à medida que se aproxima de , a coordenada se aproxima de e a coordenada se aproxima de . -
Regras de limite (operações com limites em multivariáveis): se existem
e , então valem: - soma:
, - produto:
, - multiplicação por constante:
, - potência (inteira positiva):
para .
- soma:
Essas regras são análogas às regras de limite em uma variável e valem em
porque limites em multivariáveis obedecem às mesmas propriedades algébricas quando os limites dos termos existem.
- Continuidade de polinômios: todo polinômio em
e é contínuo em todo ponto de . Consequência prática: para um polinômio ,
.
Explicação intuitiva: polinômios são compostos por somas e produtos das coordenadas, e como somas e produtos preservam limites, a substituição direta funciona.
Vou usar esses resultados para calcular o limite por substituição passo a passo justificando cada operação.
Passo 3
Limites das coordenadas e potências básicas.
Pelo item 1, temos
Aplicando a regra de potência (item 2),
Calculemos os valores numéricos:
Passo 4
Aplicação das regras de produto aos termos.
Considere o primeiro termo
. Usando a regra do produto,
Para o segundo termo
, primeiro extraímos a constante
(regra de multiplicação por constante) e depois aplicamos produto:
Para o terceiro termo
já calculamos:
Passo 5
Soma dos limites e conclusão.
Agora aplicamos a regra da soma:
Alternativa curta (justificação conceitual): como a função é um polinômio em
e
, é contínua em
, então o limite é simplesmente o valor da função em
, ou seja,
.