- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
O’
h)
h)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele dá.
- Problema O’: calcular o limite quando
da função . - Problema h): calcular
.
O que se pergunta em cada item:
- O’ pede o valor limite (se existe) de
quando o ponto se aproxima de . - h) pede o valor limite (se existe) do quociente de dois polinômios quando
se aproxima de .
Informações relevantes dadas:
- Em O’ o numerador/expressão é
e o ponto de aproximação é . - Em h) o numerador é
e o denominador é ; o ponto de aproximação é .
Passo 2
Entendendo e escolhendo o método para O’.
Primeiro, uma pequena aula sobre limites em duas variáveis e as ferramentas que podemos usar aqui.
Primeiro, uma pequena aula sobre limites em duas variáveis e as ferramentas que podemos usar aqui.
- Definição intuitiva de limite em duas variáveis: dizemos que
se, quando o ponto se aproxima de por qualquer caminho, os valores de se aproximam de . Formalmente isso pode ser dado por - , mas aqui vamos usar argumentos mais concretos. - Teorema de continuidade de polinômios: qualquer polinômio em
é contínuo em todo lugar. Se é contínua em , então . - Outra técnica útil: coordenadas polares. Escrever
com . Quando isso equivale a (independente de ). Assim muitas expressões ficam dependentes apenas de , o que facilita ver o limite. - Teorema do aperto (squeeze theorem): se
perto do ponto e então .
Essas são ferramentas pequenas e suficientes para O’.
Passo 3
Aplicando ao item O’ passo a passo (método polares e continuidade).
- Usando continuidade de polinômios:
- A função
é um polinômio em , portanto é contínua em todo ponto, inclusive em . - Pelo teorema da continuidade,
. - Calcule
:
Logo, pela continuidade, o limite é
.
- (Verificação alternativa — polar e squeeze, para consolidar a intuição)
- Escrever
. Então
- Quando
temos , então . Portanto . - Ou pelo aperto:
, então .
Resultado consistente com a continuidade. Teoremas usados em O’: continuidade de polinômios, coordenadas polares (transformação), e squeeze theorem como verificação.
Passo 4
Preparação para o item h): estratégia e teoremas aplicáveis.
Pequena aula sobre limites de quocientes:
Pequena aula sobre limites de quocientes:
- Se
e são polinômios (logo contínuos) e , então a função racional é contínua em . Consequentemente,
- Portanto, para aplicar isso basta avaliar
e em e verificar se . Se for zero, teríamos que investigar com mais cuidado (possível limite inexistente ou infinito).
Aqui
e
, o ponto é
. Vamos avaliar ambos.
Passo 5
Cálculo direto dos valores do numerador e denominador em
.
Calcule o numerador
:
Calcule o denominador
:
Observação:
. Portanto podemos usar a continuidade (regra do quociente).
Passo 6
Aplicando a regra do quociente (continuidade) e concluindo o limite no item h).
- Como
e são polinômios contínuos e , vale
- Substituindo os valores calculados:
Teoremas usados em h): continuidade de polinômios e regra do quociente para limites (quando denominador não anula no ponto).
Resposta
O’:
h):