1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
O’ (x, y) \rightarrow(0,0) x^{2}+y^{2}
h) \lim _{(x, y) \rightarrow(-2,1)} \frac{x y^{2}-5 x+8}{x^{2}+y^{2}+4 x y}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • Problema O’: calcular o limite quando (x,y)\to(0,0) da função \,x^{2}+y^{2}.
  • Problema h): calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-2,1)} \frac{x y^{2}-5 x+8}{x^{2}+y^{2}+4 x y}.
O que se pergunta em cada item:
  • O’ pede o valor limite (se existe) de \,x^{2}+y^{2} quando o ponto (x,y) se aproxima de (0,0).
  • h) pede o valor limite (se existe) do quociente de dois polinômios quando (x,y) se aproxima de (-2,1).
Informações relevantes dadas:
  • Em O’ o numerador/expressão é \,x^{2}+y^{2} e o ponto de aproximação é (0,0).
  • Em h) o numerador é \,x y^{2}-5 x+8 e o denominador é \,x^{2}+y^{2}+4 x y; o ponto de aproximação é (-2,1).

Passo 2

Entendendo e escolhendo o método para O’.
Primeiro, uma pequena aula sobre limites em duas variáveis e as ferramentas que podemos usar aqui.
  • Definição intuitiva de limite em duas variáveis: dizemos que \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L se, quando o ponto (x,y) se aproxima de (a,b) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) se aproximam de L. Formalmente isso pode ser dado por \varepsilon- \delta, mas aqui vamos usar argumentos mais concretos.
  • Teorema de continuidade de polinômios: qualquer polinômio em x,y é contínuo em todo lugar. Se f é contínua em (a,b), então \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
  • Outra técnica útil: coordenadas polares. Escrever x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to0^+ (independente de \theta). Assim muitas expressões ficam dependentes apenas de r, o que facilita ver o limite.
  • Teorema do aperto (squeeze theorem): se g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y) perto do ponto e \lim g=\lim h=L então \lim f=L.
Essas são ferramentas pequenas e suficientes para O’.

Passo 3

Aplicando ao item O’ passo a passo (método polares e continuidade).
  1. Usando continuidade de polinômios:
  • A função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é um polinômio em x,y, portanto é contínua em todo ponto, inclusive em (0,0).
  • Pelo teorema da continuidade, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}=f(0,0).
  • Calcule f(0,0):
f(0,0)=0^{2}+0^{2}=0.
Logo, pela continuidade, o limite é 0.
  1. (Verificação alternativa — polar e squeeze, para consolidar a intuição)
  • Escrever x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
  • Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0^{+}, então r^{2}\to0. Portanto x^{2}+y^{2}\to0.
  • Ou pelo aperto: 0 \le x^{2}+y^{2}=r^{2}\to0, então \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}=0.
Resultado consistente com a continuidade. Teoremas usados em O’: continuidade de polinômios, coordenadas polares (transformação), e squeeze theorem como verificação.

Passo 4

Preparação para o item h): estratégia e teoremas aplicáveis.
Pequena aula sobre limites de quocientes:
  • Se p(x,y) e q(x,y) são polinômios (logo contínuos) e q(a,b)\neq0, então a função racional \dfrac{p(x,y)}{q(x,y)} é contínua em (a,b). Consequentemente,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{p(x,y)}{q(x,y)} = \frac{p(a,b)}{q(a,b)}.
  • Portanto, para aplicar isso basta avaliar p e q em (a,b) e verificar se q(a,b)\neq0. Se for zero, teríamos que investigar com mais cuidado (possível limite inexistente ou infinito).
Aqui p(x,y)=x y^{2}-5 x+8 e q(x,y)=x^{2}+y^{2}+4 x y, o ponto é (-2,1). Vamos avaliar ambos.

Passo 5

Cálculo direto dos valores do numerador e denominador em (-2,1).
Calcule o numerador p(-2,1):
p(-2,1)=(-2)\cdot 1^{2} -5\cdot(-2) +8 = -2 +10 +8 = 16.
Calcule o denominador q(-2,1):
q(-2,1)=(-2)^{2} + 1^{2} + 4\cdot(-2)\cdot 1 = 4 + 1 -8 = -3.
Observação: q(-2,1)=-3\neq 0. Portanto podemos usar a continuidade (regra do quociente).

Passo 6

Aplicando a regra do quociente (continuidade) e concluindo o limite no item h).
  • Como p e q são polinômios contínuos e q(-2,1)\neq0, vale
\lim_{(x,y)\to(-2,1)} \frac{p(x,y)}{q(x,y)} = \frac{p(-2,1)}{q(-2,1)}.
  • Substituindo os valores calculados:
\lim_{(x,y)\to(-2,1)} \frac{x y^{2}-5 x+8}{x^{2}+y^{2}+4 x y} = \frac{16}{-3} = -\frac{16}{3}.
Teoremas usados em h): continuidade de polinômios e regra do quociente para limites (quando denominador não anula no ponto).

Resposta

O’: \;0
h): -\dfrac{16}{3}

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