- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
i)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (explicitadas):
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Importante observar se o denominador
se anula em — isso influencia se podemos aplicar substituição direta.
Passo 2
Avalio o numerador e o denominador no ponto
:
Como o denominador em
é
a fração está bem definida em
e podemos falar do valor
.
Passo 3
Vou explicar quais resultados (teoremas) vou usar — com uma mini-aula curta sobre cada um:
- Continuidade de polinômios:
- Teorema/ideia: qualquer polinômio em
(como , , ) é contínuo em todos os pontos do plano. - O que significa: se
então o valor do polinômio tende ao valor do polinômio em . - Exemplo simples:
porque a função é contínua.
- Leis de limite (soma, produto e quociente):
- Se
e têm limite em e o limite de é diferente de zero, então
- Aplicação: quando
e são polinômios, seus limites são os valores dos polinômios no ponto, pela continuidade.
- Continuidade do quociente:
- Consequência prática: se
e são contínuos em e , então é contínua em . Logo o limite de ao ponto é simplesmente .
Essas são ferramentas básicas e muito usadas em provas: polinômios contínuos + limite do quociente = possibilidade de substituição direta quando o denominador não zera.
Passo 4
Aplicando os resultados ao nosso caso:
- Tanto
quanto são polinômios em , portanto contínuos. - Já vimos que
. - Pelo teorema do quociente de funções contínuas,
é contínua em . Portanto
Passo 5
(Facultativo — argumentação alternativa via estimação, útil em prova para justificar rigoramente que denominador fica afastado de zero)
- Como
temos . Então existe um raio tal que, se , então . Assim e . - Nesse vizinhança,
. Então
- Como
implica e permanece perto de , o termo à direita tende a . Logo a expressão original tende a . Isto confirma a conclusão anterior de forma mais quantitativa.
Resposta
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