1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
i) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x^{2}+3 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,1).
  • Importante observar se o denominador x^{2}+y^{2} se anula em (0,1) — isso influencia se podemos aplicar substituição direta.

Passo 2

Avalio o numerador e o denominador no ponto (0,1):
\text{numerador em }(0,1):\; 0^{2}+3\cdot0\cdot1^{2}=0,
\text{denominador em }(0,1):\; 0^{2}+1^{2}=1.
Como o denominador em (0,1) é \,1\neq0\,, a fração está bem definida em (0,1) e podemos falar do valor f(0,1)=0.

Passo 3

Vou explicar quais resultados (teoremas) vou usar — com uma mini-aula curta sobre cada um:
  1. Continuidade de polinômios:
  • Teorema/ideia: qualquer polinômio em x,y (como x^{2}, y^{2}, 3xy^{2}) é contínuo em todos os pontos do plano.
  • O que significa: se (x,y)\to(a,b) então o valor do polinômio tende ao valor do polinômio em (a,b).
  • Exemplo simples: \lim_{x\to2} x^{2}=4 porque a função x\mapsto x^{2} é contínua.
  1. Leis de limite (soma, produto e quociente):
  • Se g e h têm limite em (a,b) e o limite de h é diferente de zero, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{g(x,y)}{h(x,y)} = \frac{\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)}{\lim_{(x,y)\to(a,b)} h(x,y)}.
  • Aplicação: quando g e h são polinômios, seus limites são os valores dos polinômios no ponto, pela continuidade.
  1. Continuidade do quociente:
  • Consequência prática: se g e h são contínuos em (a,b) e h(a,b)\neq0, então g/h é contínua em (a,b). Logo o limite de g/h ao ponto é simplesmente g(a,b)/h(a,b).
Essas são ferramentas básicas e muito usadas em provas: polinômios contínuos + limite do quociente = possibilidade de substituição direta quando o denominador não zera.

Passo 4

Aplicando os resultados ao nosso caso:
  • Tanto x^{2}+3xy^{2} quanto x^{2}+y^{2} são polinômios em (x,y), portanto contínuos.
  • Já vimos que (x^{2}+y^{2})\big|_{(0,1)}=1\neq0.
  • Pelo teorema do quociente de funções contínuas, f(x,y)=\dfrac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} é contínua em (0,1). Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{0}{1}=0.

Passo 5

(Facultativo — argumentação alternativa via estimação, útil em prova para justificar rigoramente que denominador fica afastado de zero)
  • Como (x,y)\to(0,1) temos y\to1. Então existe um raio \delta>0 tal que, se \sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta, então |y-1|<\tfrac12. Assim y\in(\tfrac12,\tfrac32) e y^{2}>\tfrac14.
  • Nesse vizinhança, x^{2}+y^{2}\ge y^{2}>\tfrac14. Então
\left|\frac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 4\big(x^{2}+3|x|y^{2}\big).
  • Como (x,y)\to(0,1) implica x\to0 e y permanece perto de 1, o termo à direita tende a 0. Logo a expressão original tende a 0. Isto confirma a conclusão anterior de forma mais quantitativa.

Resposta

0

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