- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
j)
Passo 1
O enunciado pede determinar, se existir, o valor do limite
Informações dadas:
- A função considerada é
definida para (o denominador zera em ). - O ponto de interesse é
e devemos analisar o comportamento de quando se aproxima de por quaisquer caminhos.
Passo 2
Observações iniciais sobre domínio e formato da expressão:
- Para
definimos
- Em
a expressão não está definida porque . Por isso falamos em limite quando , não em valor da função no ponto. - Uma forma útil para entender limites em
é observar o valor de ao longo de diferentes caminhos que levam a .
Passo 3
Teoremas e resultados que vamos usar (explicados de forma prática):
- Critério sequencial / teste por caminhos:
- Teorema (voz amigável): Se
existe, então para qualquer caminho (ou qualquer sequência) com devemos ter . - Consequência prática: se encontramos dois caminhos que tendem a
e os limites de ao longo desses caminhos são diferentes, então o limite em não existe.
- Teorema (voz amigável): Se
- Coordenadas polares (ferramenta de cálculo):
- Substituição:
e com . - Ao estudar limites com
podemos olhar o comportamento quando mantendo (ou variando) .
- Substituição:
Passo 4
Aplicando o teste por caminhos simples (e muito didático): escolha o eixo
.
- Se
e , então . Logo
- Para aproximar
pelo eixo positivo (isto é, com ) temos , então
- Para aproximar
pelo eixo negativo (isto é, com ) temos , então
- Como os limites ao longo desses dois caminhos (parte positiva do eixo
e parte negativa do eixo ) são diferentes ( e ), pela consequência do item 1 do passo anterior concluímos que o limite total não pode existir.
Passo 5
Complemento via coordenadas polares (mostra elegantemente a dependência direcional):
- Substituindo
em (para ) obtemos
- Note que
não depende de (apenas de ). Ao fazer mantendo fixo, o valor tende a , que varia com . - Por exemplo, para
obtemos , para obtemos . Isso confirma que o valor limite depende da direção de aproximação, então não há um valor único.
Passo 6
Conclusão lógica final baseada nos passos anteriores:
- Encontramos ao menos dois caminhos de aproximação a
que produzem valores-limite diferentes ( e ). - Pelo teste por caminhos (se o limite existisse teria que ser o mesmo por todas as direções), segue que
o limitenão existe.
Resposta
O limite não existe.