1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
j) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede determinar, se existir, o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} definida para (x,y)\neq(0,0) (o denominador zera em (0,0)).
  • O ponto de interesse é (0,0) e devemos analisar o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer caminhos.

Passo 2

Observações iniciais sobre domínio e formato da expressão:
  • Para (x,y)\neq(0,0) definimos
f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Em (0,0) a expressão não está definida porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=0. Por isso falamos em limite quando (x,y)\to(0,0), não em valor da função no ponto.
  • Uma forma útil para entender limites em \mathbb{R}^2 é observar o valor de f ao longo de diferentes caminhos que levam a (0,0).

Passo 3

Teoremas e resultados que vamos usar (explicados de forma prática):
  1. Critério sequencial / teste por caminhos:
    • Teorema (voz amigável): Se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe, então para qualquer caminho (ou qualquer sequência) (x(t),y(t)) com (x(t),y(t))\to(0,0) devemos ter f(x(t),y(t))\to L.
    • Consequência prática: se encontramos dois caminhos que tendem a (0,0) e os limites de f ao longo desses caminhos são diferentes, então o limite em (0,0) não existe.
  2. Coordenadas polares (ferramenta de cálculo):
    • Substituição: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta e \sqrt{x^2+y^2}=r com r>0.
    • Ao estudar limites com (x,y)\to(0,0) podemos olhar o comportamento quando r\to0^+ mantendo (ou variando) \theta.

Passo 4

Aplicando o teste por caminhos simples (e muito didático): escolha o eixo y=0.
  • Se y=0 e x\neq0, então \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}}=|x|. Logo
f(x,0)=\frac{2x}{|x|}.
  • Para aproximar (0,0) pelo eixo positivo (isto é, x\to0^+ com y=0) temos |x|=x, então
\lim_{x\to0^+} f(x,0)=\lim_{x\to0^+}\frac{2x}{x}=2.
  • Para aproximar (0,0) pelo eixo negativo (isto é, x\to0^- com y=0) temos |x|=-x, então
\lim_{x\to0^-} f(x,0)=\lim_{x\to0^-}\frac{2x}{-x}=-2.
  • Como os limites ao longo desses dois caminhos (parte positiva do eixo x e parte negativa do eixo x) são diferentes ( 2 e -2), pela consequência do item 1 do passo anterior concluímos que o limite total não pode existir.

Passo 5

Complemento via coordenadas polares (mostra elegantemente a dependência direcional):
  • Substituindo x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta em f (para r>0) obtemos
f(r,\theta)=\frac{2(r\cos\theta)}{r}=2\cos\theta.
  • Note que f(r,\theta) não depende de r (apenas de \theta). Ao fazer r\to0^+ mantendo \theta fixo, o valor tende a 2\cos\theta, que varia com \theta.
  • Por exemplo, para \theta=0 obtemos 2\cos0=2, para \theta=\pi obtemos 2\cos\pi=-2. Isso confirma que o valor limite depende da direção de aproximação, então não há um valor único.

Passo 6

Conclusão lógica final baseada nos passos anteriores:
  • Encontramos ao menos dois caminhos de aproximação a (0,0) que produzem valores-limite diferentes ( 2 e -2).
  • Pelo teste por caminhos (se o limite existisse teria que ser o mesmo por todas as direções), segue que
    o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} não existe.

Resposta

O limite não existe.

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