Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
(g) \lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \frac{x \cos (x-y)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x\cos(x-y)}{x^2 + y^2}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a continuidade de funções elementares (polinômios e cosseno) no ponto e o fato de que o denominador não se anula em (2,2).

Passo 2

Verificamos o denominador em (2,2):
x^2 + y^2 \big|_{(2,2)} = 2^2 + 2^2 = 8 \neq 0.
Como x\mapsto x^2+y^2 e (x,y)\mapsto x\cos(x-y) são contínuas em torno de (2,2) e o denominador não zera, o quociente também é contínuo nesse ponto.

Passo 3

Pela continuidade, podemos simplesmente substituir (x,y)=(2,2) no numerador e no denominador. Note que
x - y \to 2 - 2 = 0
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\cos(x-y) \to \cos(0) = 1.

Passo 4

Substituindo em
\frac{x\cos(x-y)}{x^2+y^2}
temos
\frac{2\cdot 1}{2^2 + 2^2} = \frac{2}{4+4} = \frac{2}{8} = \frac14.

Resposta

\displaystyle \frac14

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