Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
(h) \lim _{(x, y) \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)} y \cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=y\cos(xy)
quando (x,y)\to\bigl(\tfrac{\pi}{2},2\bigr). O conteúdo envolve limites em várias variáveis e vamos verificar se podemos fazer substituição direta, isto é, se f é contínua nesse ponto.

Passo 2

Note que as funções
g(x,y)=xy,
h(t)=\cos(t)
e a função identidade y\mapsto y são todas contínuas em seus domínios. O produto de funções contínuas também é contínuo, e a composição de funções contínuas é contínua. Logo,
f(x,y)=y\cdot\cos\bigl(g(x,y)\bigr)=y\cos(xy)
é contínua em \bigl(\tfrac{\pi}{2},2\bigr) e podemos usar substituição direta para o limite.

Passo 3

Calculamos o valor de f no ponto:
xy = \frac{\pi}{2}\cdot2 = \pi,
\cos(\pi) = -1,
portanto
f\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2},2\Bigr) = 2 \cdot (-1) = -2.

Resposta

O limite existe e vale -2.

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