Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}
ou mostrar que ele não existe. Vamos usar coordenadas polares e o comportamento de \sin u para u\to0.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então
x^{2}-y^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos(2\theta),
e o denominador é r^{2}. Logo a expressão fica
\frac{\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} =\frac{\sin\bigl(r^{2}\cos(2\theta)\bigr)}{r^{2}}.

Passo 3

Para r\to0, o argumento u=r^{2}\cos(2\theta) também tende a 0. Usamos o limite conhecido
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Então
\frac{\sin\bigl(r^{2}\cos(2\theta)\bigr)}{r^{2}} =\frac{\sin\bigl(r^{2}\cos(2\theta)\bigr)}{r^{2}\cos(2\theta)} \cdot\cos(2\theta) \;\xrightarrow[r\to0]{}\; 1\cdot\cos(2\theta) =\cos(2\theta).

Passo 4

O valor de \cos(2\theta) depende de \theta. Por exemplo:
  • Se \theta=0, então \cos(2\theta)=\cos0=1.
  • Se \theta=\tfrac\pi2, então \cos(2\theta)=\cos\pi=-1.
Como obtemos limites diferentes ao longo de direções diferentes, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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