Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(d) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x+2 y} \sin \left(\frac{1}{x+y}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x+2y}\,\sin\Bigl(\frac{1}{x+y}\Bigr).
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observamos que a função está definida quando x+2y\ge0 e x+y\neq0. Para que o limite exista, devemos considerar aproximações de (0,0) apenas por pontos do domínio, mas em todas essas direções.

Passo 3

Usamos que para todo argumento real vale
\bigl|\sin\bigl(\tfrac{1}{x+y}\bigr)\bigr|\le1.
Logo,
\bigl|\sqrt{x+2y}\,\sin\bigl(\tfrac{1}{x+y}\bigr)\bigr| \le \sqrt{x+2y}.

Passo 4

Como (x,y)\to(0,0), temos x+2y\to0 e, portanto,
\sqrt{x+2y}\;\to 0.
Pelo Teorema do Confronto, a expressão original tende a 0.

Resposta

0

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