Calcule \iiint_{E} d V, onde E é limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região E limitada pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 4. Isso é um problema de integrais triplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. A superfície z = x^2 + y^2 vira z = r^2 e o plano z=4 permanece z=4. O raio r varia de 0 até a interseção r^2 = 4, ou seja r=2, e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

O volume é
\iiint_{E}dV \;=\; \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=r^2}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=r^2}^{4}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{z=r^2}^{4} = r\,(4 - r^2).

Passo 4

Restam as integrais em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{2}r\,(4 - r^2)\,dr = 2\pi \int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr.
Calculando em r:
\int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr =\Bigl[2r^2 - \tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(2\cdot4 - \tfrac{16}{4}\bigr) = (8 - 4) =4.

Passo 5

Multiplicando por 2\pi obtemos
2\pi \times 4 = 8\pi.

Resposta

O volume da região E é 8\pi.

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