Determine o limite, se existif, ou mostre que o limite năo existe.
lim (x, y) infty x^4-y^4x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)toinfty, ou seja, quando o módulo raizx^2+y^2 cresce sem bound. O conteúdo é análise de limites no infinito em R^2 e vamos verificar se o valor da fração
x^4-y^4x^2+y^2
se aproxima de um mesmo número (ou pminfty) independentemente do caminho.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Então
x^4-0^4x^2+0^2 =x^4x^2 =x^2,
e ao fazermos xtoinfty obtemos
x^4-y^4x^2+y^2g|y=0;longrightarrow;+infty

Passo 3

Agora considere o caminho y=x. Temos
x^4-x^4x^2+x^2 =02x^2 =0
para todo xneq0, logo
x^4-y^4x^2+y^2g|y=x;=;0

Resposta

O limite não existe, pois ao escolher diferentes caminhos (x,y)toinfty obtemos valores distintos ( +infty em y=0 e 0 em y=x).

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