Calcule a integral dupla.
integral duplaR x y^2x^2+1 d x d y, R=(x, y): 0 <= x <= 1 e-3 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRx,y^2x^2+1,dx,dy,
onde R é o retângulo dado por 0<= x<=1 e -3<= y<=3. O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini e notar que a função se separa em um fator só de x e outro só de y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos trocar a ordem de integração e escrever
integral duplaRx,y^2x^2+1,dx,dy = integral0^1!!integral-3^3x,y^2x^2+1,dy,dx
Como xx^2+1 não depende de y, fica
integral0^1xx^2+1l(integral-3^3y^2,dyr),dx

Passo 3

Calcular a integral em y:
integral-3^3y^2,dy = [tfracy^33]-3^3 = tfrac3^33-tfrac(-3)^33 = 9-(-9) = 18
Logo a dupla vale
18integral0^1xx^2+1,dx

Passo 4

Agora a integral em x. Use a substituição
u = x^2+1, du = 2x,dx,
então
integral0^1xx^2+1,dx = tfrac12integralu(0)^u(1)1u,du = tfrac12l[ln ur]1^2 = tfrac12ln 2

Passo 5

Multiplicando pelo fator 18, obtemos
18cdottfrac12ln2 = 9ln2

Resposta

9ln2

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