Esboce o gráfico de F(x)=integral-infty^x f(t) d t, onde
f(t)=lll2 & se & |t| <= 1 0 & se & |t|>1;

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integral-infty^xf(t),dt
com
f(t)= 2, & lvert trvert <= 1, 0, & lvert trvert>1
Precisamos calcular essa integral por partes, de acordo com a posição de x em relação a -1 e 1.

Passo 2

Para x<-1, todo o intervalo de integração está em lvert trvert>1, onde f(t)=0. Logo
F(x)=integral-infty^x0,dt = 0

Passo 3

Para -1<= x<= 1, separamos
F(x)=integral-infty^-1f(t),dt + integral-1^xf(t),dt
No primeiro termo f(t)=0, e no segundo f(t)=2. Assim
F(x)=integral-1^x2,dt = 2,(x-(-1)) = 2(x+1)

Passo 4

Para x>1, escrevemos
F(x)=integral-infty^-1f(t),dt + integral-1^1f(t),dt + integral1^xf(t),dt
Os dois primeiros termos somam
integral-1^12,dt = 4,
e o último é zero (pois f(t)=0 para t>1). Logo
F(x)=4

Passo 5

O esboço do gráfico de F é então:
  • constante igual a 0 para x < -1,
  • reta de inclinação 2 ligando (-1,0) a (1,4) no trecho -1 <= x <= 1,
  • constante igual a 4 para x > 1.

Resposta

F(x)= 0, & x<-1, 2(x+1), & -1<= x <= 1, 4, & x>1

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